第一章     緒 論

 

本章分成四節，首先論述本研究的動機與背景，其次是研究目的，接著說明本論文的研究限制，最後做名詞的釋義。

 

第一節  研究動機與背景

 

自民國八十二年教育部公布「國民小學課程標準」（教育部，民82），國民小學實施的數學新課程中，將數、量、形等概念融合，分成六大領域：數與計算、量與實測、圖形與空間、統計圖表、數量關係、術語與符號。民國九十年實施「九年一貫課程」（教育部，民89），將數學學習領域分成了五大主題：（1）數與量（2）圖形與空間（3）統計與機率（4）代數（5）連結。國內近來兩次數學課程改革中的「圖形與空間」就是幾何，國小幾何教材可分為平面圖形與立體空間兩部分，國小平面圖形教材介紹到的圖形包含等腰三角形、正三角形、直角三角形、正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形、箏形、圓形、扇形，其中正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形、箏形就是屬於四邊形的部分，也由此可知四邊形概念在平面幾何圖形教材中佔有極重要的份量。

從九年一貫數學學習領域「圖形與空間」第三階段（6-7年級）的分段能力指標：S-3-1：『能使用形體的性質描述某一類形體』、S-3-2：『能指出合於性質的形體』、S-3-3：『從一類形體的特性中，指出哪些性質也適用於另一類形體』；從這些能力指標，我們可知國小六年級學童應該要發展出運用基本性質來辨識四邊形的能力。例如：知道四個直角的四邊形有正方形、長方形，而正方形是屬於長方形的一種特殊例子；能夠從一堆的四邊形中，指出有兩組相對的邊互相平行的四邊形。

現今小學教育的情況，往往各年級的數學課程分由不同教師擔任教學，教師如果不去了解學生過去幾何概念的程度為何，易造成教學的盲點。根據盧銘法（民85）的研究：以各類四邊形所找出的七個基本性質，讓國小中、高年級學生分別找出平行四邊形、長方形、菱形、正方形合乎哪些性質，通過率只有10.6﹪，顯示學生對於以性質來辨識四邊形感到困難。再由沈佩芳（民91）筆試與晤談的結果也可得知國小高年級學生對於以基本性質辨識四邊形確實有迷思。而高年級學童產生這樣的迷思，可能在之前中、低年級學習四邊形概念的過程中，出現了錯誤的概念。

要讓學生的學習能達到能力指標，首先教師必須瞭解學生的迷思概念並能進一步去澄清。而澄清學生的迷思概念應採用哪一種教學方法比較有效呢？國外學者Case（1978）提出運用診斷教學策略，可以有效改變學童的迷思概念，也就是讓學生有機會主動察覺自己的錯誤，造成本身在認知上的不平衡，進而產生認知調整的需求。Bell（1993）認為數學教師在教學時，如能針對學生出現的迷思想法，提供診斷教學策略，設計能引起有迷思概念學生認知衝突的活動，將能有效地根除學生的迷思想法。Thoms（2000）也呼籲應將兒童對幾何概念了解的研究運用在教學上，設計更多診斷教學的實驗。

在國內也有不少有關如何改變迷思概念的診斷教學實證研究（李源順，民90；林福來、李源順，民87；林福來、郭汾派、林光賢，民84；陳雪華，民91；江愛華，民92；梁惠珍，民92），而這些研究結果皆認為診斷教學是解決學生迷思概念的有效教學策略。此外，近年來國內數學教育學者，例如：呂玉琴（民89）、陳光勳（民90）、劉曼麗（民90）等人，近年來也積極投入診斷教學的相關研究，期望能幫助學生改變迷思概念。

目前有關四邊形的研究（盧銘法，民85；何森豪，民88；謝貞秀，民91；沈佩芳，民91；高耀琮，民91）主要都是針對學童van Hiele幾何發展水準及學童平面圖形概念兩方面來進行研究，尚未有關四邊形診斷教學的研究。此外，現今的科技進步迅速，電腦的軟、硬體功能都大為增強，將電腦科技運用在教學上，是現今教師所必須具備的能力。胡凱華（民90）、陳雪華（民91）的研究結果中都發現透過電腦模擬，如GSP的操作有助於澄清學生的迷思概念。所以本研究的診斷教學除了運用分類活動和造圖活動讓學生更清楚四邊形的基本性質外，也使用GSP動態幾何軟體來設計診斷教學活動，讓學童透過電腦實際進行長方形、菱形、平行四邊形的動態模擬，來澄清學童在四邊形包含關係上的迷思概念。

綜合上述說明，研究者認為六年級的幾何教育是一個關鍵且需要深入研究的年級，四邊形的概念在國小幾何課程中更佔有極重要的份量，若在此階段未能加以澄清孩童四邊形的迷思概念，那麼升上國中後，對於後續幾何概念的學習將更加困難。現行國小數學科教材，四邊形概念的教學都集中在一到四年級的課程上，六年級的幾何教材只有線對稱概念的教學，並無四邊形概念的教學，因此研究者希望利用彈性課程自編教材的機會，設計四邊形診斷教學活動來澄清學童的迷思概念，讓學童能在步入國中前有一個良好的幾何基礎。

 

第二節 研究目的

 

基於以上的研究動機與背景，本研究的目的為：

一、   探討六年級四邊形診斷教學活動，對於澄清迷思概念的成效。

二、   探討六年級四邊形診斷教學活動之設計模式與實施歷程。

 

第三節 研究限制

 

由於考量時間與研究的便利性，以及研究者在經費、時間及人力上的限制，本研究只以台北市大安區開心國小（匿名）的六年A班為診斷教學的實驗對象。一般國內的教學實驗研究方法，通常都採實驗組、對照組的方式進行。這樣的實驗設計，具有隨機分派受試者於實驗處理的特徵，以達到等組的要求。但研究者受限於學校行政的現實考量，無法打破班級界線，難以對學生進行隨機分配到實驗組與控制組。加上本研究所設計四邊形診斷教學活動，並非在原有的六年級數學課程內，而是研究者自行設計診斷教學教材，運用彈性課程的時間來進行教學，所以無其他教學活動可相互對照，因此本教學實驗研究不採取實驗組、對照組的方式進行，而採取準實驗研究法中單一組別的前、後測設計。

 

   第四節 名詞釋義

 

一、   四邊形迷思概念：本研究所指的四邊形迷思概念包括研究者從收集到的文獻中，分析出有關學童對四邊形的迷思想法，以及學童在四邊形概念測驗前測中和在診斷教學活動時，所呈現出的迷思想法。

 

二、   診斷教學：本研究所指的診斷教學是指在教學活動中先診斷出學生的迷思概念，然後連結學生舊有的學習經驗，再進一步製造學生的認知衝突來澄清學童的迷思概念，而學生在認知衝突後能進行認知調整的教學。

三、   四邊形基本性質：本研究所指的四邊形基本性質是辨識正方形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形的基本條件。研究者依照本研究對象過去的學習經驗國立編譯館主編的數學教學指引第七冊(民89)所提出的基本性質包括『四邊相等』、『四角皆為直角』、『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』、『兩雙對邊互相平行』、『有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，而另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』五種邊角關係。為了讓性質的用語更清楚，研究者採用張英傑（民90）「兒童幾何形體概念調查及診斷教學之研究」全國抽測B試卷所使用的用語，以『四個邊都一樣長』表示『四邊相等』、『四個角都是直角』表示『四角皆為直角』、『兩雙相對的邊互相平行』表示『兩雙對邊互相平行』。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二章 文獻探討

 

     本研究的文獻探討分為四個部份說明，首先第一節探究學童在四邊形常出現哪些迷思概念；接著第二節探討幾何概念發展的相關理論；第三節診斷教學理論，敘述診斷教學的特性、步驟及策略；最後第四節教學活動設計，主要探究學生在四邊形學習的先備經驗以及教學活動設計的要項。詳細內容分述如下:

 

第一節 四邊形迷思概念

 

   本節一開始先解釋迷思概念的意義，接著說明迷思概念的特性與學童出現迷思概念可能的原因，最後整理出學童在四邊形常出現的迷思概念。詳細敘述如下：

 

一、  迷思概念的意義

 

有許多探討學生概念理解的研究，發現學生不是腦袋空空進入學習情境，他們有許多先入為主的觀念，而這些概念有別於專家的科學概念，並且非常不容易改變。鄭麗玉（民87）指出這些既存的概念，研究者有許多不同的稱呼，有稱『迷思概念』（misconception）、『另有架構』（alternative framework）、『先前概念』（preconception）、『純真概念』（naive conception）、『另有概念』(alternative conception)….等。

其實這些名詞的含義大同小異，一般而言『concept』其意義大都界定在與數學和自然科學所公認的概念，與個人的『conception』有所出入，所謂『conception』是指學習者個人所擁有的概念（柳賢，民91）。在本研究中，為使文獻探討有參照性，對於其他學者、研究者所用的名詞，只要原意相同，都改用『迷思概念』。

 

二、  迷思概念的特性

 

研究者綜合（柳賢，民91；張川木，民84）所整理出的文獻，發現迷思概念的特性具有普遍性和持續性，並且與正統的科學概念相互矛盾；學童的迷思概念大部分是從日常生活經驗中獲得的，日常生活的經驗包括學校、媒體、同學…等。迷思概念會存在不同國度的學童及各個年齡層中。此外學童所發展出來的迷思概念在科學的發展史上也曾有類似的先例產生，若是運用以教師為中心的傳統教學法來進行教學是很難改變學生的迷思概念。

 

三、  迷思概念的成因

 

針對迷思概念的特徵，如何發展出可用來改變或修正這些迷思概念的教學策略，成為教育界所關切的問題之一。在發展教學策略之前，須先探究造成迷思概念的原因；研究者綜合（劉正湖，民88；鍾聖校，民83；黃萬居，民83）的文獻，歸納出形成迷思概念的原因有兩大項：

 

（一）日常生活環境所影響：包括受到大眾媒體，如電視、廣播、雜誌、報紙的誤導、日常生活用語的混淆、學童在學校上課時對老師的教學或課本書籍產生錯誤的理解以及同儕相互間錯誤的引導。

 

（二）學童本身因素的影響：學童產生迷思概念有可能是個人對事物的直觀影響而產生以偏蓋全的情形或是兒童受到過去概念的學習遷移，在概念演化歷程中自發的產生迷思概念。此外學童缺乏動手做實驗來驗證概念的習慣也是造成學童產生迷思概念可能的原因之一。

 

而造成學童幾何概念產生迷思的原因，國外學者Oberdorf & Taylor-Cox(1999)提出有可能是受到成人不精確用語的影響，舉例而言：學童聽到大人說：三明治很像是一個三角形；球很像是一個圓，然而大人的敘述只有描述出物體的表面，但實際的物體有可能是一個三角柱、圓柱。由於小朋友無法區別「很像」和「實際」的不同，也就是二維和三維空間有何不同，若是父母或老師不更進一步說明或討論二維和三維空間的術語和性質的表徵，則可能誤導孩子錯誤的概念。

前面研究者歸納出造成學童產生迷思概念的可能原因有可能是日常生活環境的影響及學童本身因素的影響，Oberdorf & Taylor-Cox(1999)也提出相同的看法。在日常生活環境的影響上，其研究指出很多學童是從大人、電視、書本、玩具或電腦遊戲..等生活經驗中去學習圖形的命名，雖然學童有很豐富多元的生活經驗、但其中的經驗有可能是錯誤的。例如：許多大人在學童面前使用不恰當或不正確的術語來分類圖形和立體物，雖然許多術語誤用的情況不是故意的，但學習者可能使用聽到的錯誤術語，而導致錯誤的概念。

而在學童本身因素的影響上，前述研究指出有些學童學習圖形是從一些特定的圖形中，去記住圖形特殊的特徵來學習。所以當學童記憶的特徵沒有連接到正確的概念，就很容易受到限制，認為某個圖形一定是什麼形狀，而產生迷思概念。例如：有些孩子認為四個邊一樣長、四個角一樣大是正方形；長方形是有等長平行的邊，但成垂直的邊不等長，而且長方形是「長長的」或「高高的」，孩子把正方形和長方形產生區別是建立在狹隘的經驗上，這對日後向孩子澄清正方形也是長方形時會造成混淆，孩子可能無法理解為什麼正方形也是長方形；長方形也是平行四邊形；平行四邊形是四邊形的概念。

由以上敘述可知，學生的迷思概念可能來自生活中的經驗，也可能是受父母或教學的影響。教師教學時若利用具體物來說明平面圖形，應注意學生是否造成混淆，而產生錯誤的概念。而對於學生的迷思概念最好能及早發現並予以糾正，因為這些影響可能伴隨著學生成長，影響學生日後的學習。

 

四、四邊形的迷思概念

 

迷思概念存在不同國度的學童及年齡層中，國內外有多位研究者從事兒童圖形迷思概念的研究。但因本研究只針對四邊形進行探討，所以研究者只整理有關四邊形迷思概念的相關文獻，以作為研究者設計診斷教學的參考。

在國內的部分，張英傑（民90）的研究發現：正方形也是長方形，學生的通過率都不高，幼稚園的通過率是0%，最高的是五年級也只有61%。K-6年級小學生對於長方形和正方形的包含關係概念不清楚，有些學生會將平行四邊形視為長方形，可能受到形狀「長長的」影響，而忽略了「直角」的性質。有些學生將菱形視為正方形，可能只注意到邊長的關係，而忽略了直角的性質。

在四邊形邊和角的性質上，張英傑（民90）發現：四~六年級對於四邊形的基本性質「四個邊都一樣長」、「兩組對邊互相平行」、「兩組對邊相等」的性質仍不太清楚，顯示對於菱形的性質不太瞭解。此外四~六年級對於「兩組對邊互相平行的四邊形」之通過率大部分都優於「兩組對邊相等的四邊形」之通過率，學童可能對於「兩組對邊相等」之意義不瞭解。

學者吳貞祥（民69）指出，日本國立東京教育研究所所做的一項圖形概念測驗調查問卷，所用的圖形包含了圖形的大小、位置變換，結果得知：

 

1.   雖然是相同的圖形，但是位置變換後，就較不易辨認出來，顯示圖形位置的變換會影響圖形的辨識。

2.   雖然是同形，但是大小不同，也較難辨認出來，顯示圖形的大小會影響圖形的辨識。

3.   隨著年級的升高，學生的圖形辨識答對率逐漸提升，然而仍有誤答情形。

4.   當提示正方形時，誤答菱形與其相同的比率很高，顯示把菱形當作正方形的學生相當多。

5.   當提示長方形時，誤答平行四邊形與其相同的比率很高，顯示把平行四邊形當作長方形的學生也相當多。

 

 

從沈佩芳（民91）筆試與晤談高年級學童平面幾何圖形概念的結果中發現，學童在四邊形的迷思概念可分為視覺辨識、組成要素兩方面來說明：

 

1.   在視覺辨識方面：

正方形會受方位的影響，認為倒過來的正方形是菱形，不是正方形。學童認為平行四邊形也有一種是像等腰梯形一樣，只有一組對邊等長的。在菱形方面，認為菱形就是正方形倒過來的圖形，所以四個角都是直角。大部分的學童認為箏形就是菱形。而在一般的四邊形上，有的學童只接受菱形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形這些特殊四邊形為四邊形，至於一般不規則的四邊形則不是四邊形。

 

2.   在組成要素上：

認為正方形四個邊一樣長，但兩組對邊不一樣長，所以不是長方形。長方形要有二組對邊等長，但不包含四個邊等長，所以正方形不是長方形的一種。有些學童將平行四邊形當成長方形，認為平行四邊形四個角都是直角。而正方形、菱形四個邊都一樣長，長方形四個角都是直角，所以不認為正方形、長方形、菱形也是平行四邊形。在菱形方面，學童認為倒過來擺的正方形就是菱形，所以菱形四個邊等長、四個角都是直角。有的認為菱形並沒有兩組對邊互相平行，所以菱形不算是一種平行四邊形。有23﹪的學童不認為『兩雙相對的邊互相平行』是正方形、長方形、菱形、平行四邊形的基本性質，也有學童誤認『兩雙相對的邊互相平行』是箏形、梯形的基本性質。在箏形上面，會認為箏形就是菱形，所以四個邊一樣長，且兩組對邊等長互相平行，對於箏形『有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，而另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』的基本性質並不清楚。

 

謝貞秀（民91）在筆試與晤談中年級學童平面幾何圖形概念的結果中發現，學童在四邊形的迷思概念如下：

1.   正方形：正方形一定是正正方方的，將斜放的正方形，當作菱形。

2.   長方形：長方形認為是「長長的」，而忽略直角的性質，選擇沒有直角的平行四邊形當作長方形，兒童尚未有正方形也是長方形的包含概念。

3.   平行四邊形： 許多兒童平行四邊形的心像是呈水平擺設的平行四邊形，所以認為沒有成水平擺設的平行四邊形就不是平行四邊形。

4.   菱形：多數兒童認為水平擺設的正方形不是菱形，沒有正方形也是菱形的包含概念；有些學生把菱形和箏形弄混淆了。

5.   梯形：認為沒有成水平擺設的梯形就不是梯形，也有學生認為梯形沒有直角，有直角便不是梯形。有些學生認為梯形有一雙對邊互相平行，所以梯形也是平行四邊形。

 

林軍治（民81）的研究指出若干國小學生產生有關四邊形的迷思概念：

1.   正方形不是長方形的一種。

2.   不能明確指出「兩組對邊分別平行」的四邊形。

 

在國外的文獻上，學童對於四邊形所產生的若干迷思概念如下：

Burger＆Shaughnessy（1986）有關四邊形的晤談結果發現：

1.   在定義圖形的部分，較高年級的學生會用性質來說明，較小的孩子有些還是會受方位影響。

2.   在包含關係的部分，有些孩子有「長方形一定要有一對較長的邊和一對較短的邊」的錯誤概念，所以認為正方形不是長方形。對於平行四邊形的迷思概念是兩條平行線一樣長而且要連接兩條「一樣長的斜線」，所以他們認為正方形、長方形和菱形不是平行四邊形。

 

Monaghan（2000）以筆試試卷測驗英國七年級的中學學生下列問題：

1. 正方形和長方形之間有何不同?

發現學生深受長方形原型的影響，認為正方形是4個邊都相等，而長方形有2組相對且相同長度的邊，其中一組應該比另一組更長，這是它們普遍認為正方形與長方形不同的地方。所以正方形是一個特殊長方形這樣的包含關係，學生很難能描述出來。Monaghan蒐集許多中學的教材，發現教材中描繪的長方形有三分之二是垂直的邊大於水平的邊。除了少量的活動外，長方形都是直立的，長大約都是寬的2倍。

2. 長方形和平行四邊形之間有何不同?

學生普遍認為長方形不是一個平行四邊形，這是因為學生心中普遍存在平行四邊形的原型是水平擺設如右圖       這樣呈現。

 

Wilson(1990) 有關「定義與圖例不一致性」的研究中發現：

有些學生無法察覺自己的不一致，例如：一些學生會同時同意”所有的長方形是正方形”和“所有的正方形是長方形”，而且這些學生中有些並沒有選擇正方形當作長方形的圖例。學生對於長方形和正方形在不同情境有不同的想法。有些學生在定義上同意正方形是長方形，但在選擇圖例時並未選正方形；而且不到15％的人畫出正方形來當做長方形的圖例。學生在思考平行四邊形和長方形時也有類似不一致性的思考，有些學生寫出長方形有四個直角，但卻選擇平行四邊形當作長方形，顯示學生沒有依照自己所寫的定義來選擇長方形，這些學生有可能是根據原型而非根據自己的定義來選擇圖形。

Elizabeth（1995）提供一系列的圖形測驗，包括概念和操作平面圖形，分析孩子的表現，由研究顯示最初對圖形的知覺和觀念強烈的影響孩子在測驗時對圖形的認知。此外也發現視覺的知覺限制導致圖形認知障礙，同時也影響學生的測驗結果。研究結果發現：

1.   在認知過程中，圖形本身會造成視覺知覺的限制，特殊圖形突出的頂點扮演關鍵的角色，但孩子較少提到2個直角或比較邊的長短，顯示直角和邊長比例在圖形判別是扮演次要的地位。

2.   四邊形圖形的方位似乎也會讓孩子感到困惑，孩子會旋轉圖卡，直到圖形是水平或垂直的方位。在作圖中也可看出學生受方位的影響，孩子會畫水平或垂直的邊，若給予斜線要求畫出圖形，有些人則無法完成。

 

Clement& Battista（1992）整理多位研究者的研究結果，列舉出有關學童在四邊形上的迷思概念有下列2項：

1.   假若正方形底邊不是水平的，則它就不是正方形。

2.   假若一個圖形有四個邊，它就是正方形。

 

五、小結

經由本節對迷思概念的意義、特性、成因以及國內、外四邊形的迷思概念相關研究的文獻探討後，研究者整理出可取的方向和啟示。

從上述的文獻整理，我們發現四邊形的迷思概念符合迷思概念的特性：迷思概念存在不同國度的學童及年齡層中。學童從幼稚園進到國小，一直到國小六年級，然而隨著年齡的增長以及接受學校老師的幾何教學，許多四邊形的迷思概念都能逐漸澄清，從沈佩芳（民91）、高耀琮（民91）以相同試題測驗學童對圖形封閉性、曲直性的概念，國小低年級通過率只有69﹪，到了高年級通過率達到96﹪就可得到證明。

研究者將學童在不同四邊形常出現的迷思概念整理歸納出來。並利用張英傑（民92）進行全國性國小學童幾何形體概念的調查研究結果，來呈現現今國小六年級學童四邊形迷思概念的情況。

 

（一） 正方形方面：

1.   認為倒轉過來的正方形是菱形不是正方形，全國抽測16﹪有此迷思概念。

2.   認為正方形不是長方形的一種特例，全國抽測89﹪有此迷思概念。

3.   認為正方形不是菱形的一種特例，全國抽測69﹪有此迷思概念。

4.   認為正方形不是平行四邊形的一種特例，全國抽測44﹪有此迷思概念。

（二） 在長方形方面：

1.   認為長方形不是平行四邊形的一種特例，全國抽測41﹪有此迷思概念。

（三） 在平行四邊形方面：

1.   認為沒有呈水平擺設的平行四邊形就不是平行四邊形，在全國施測試卷中無測驗此項概念的試題。

2.   認為『為一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』是平行四邊形的基本性質，在全國施測試卷中無測驗此項概念的試題。

（四） 在菱形方面：

1.   認為水平擺設的正方形不是菱形，全國抽測69﹪有此迷思概念。

2.   認為『四個邊都一樣長』不是菱形的基本性質，全國抽測41﹪有此迷思概念。

3.   認為『四個角都是直角』是菱形的基本性質，全國抽測21﹪有此迷思概念。

4.   認為『兩雙相對的邊互相平行』不是菱形的基本性質，全國抽測44﹪有此迷思概念。

5.   認為菱形不是平行四邊形的一種特例，全國抽測44﹪有此迷思概念。

（五） 在梯形方面：

1.   認為有直角的梯形就不是梯形，全國抽測16﹪有此迷思概念。

（六） 在箏形方面：

1.   認為『一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』不是箏形的基本性質，在全國施測試卷中無測驗此項概念的試題。

（七） 在四邊形方面：

1.   認為梯形、菱形、箏形與不規則的四邊形不是四邊形，全國抽測梯形21﹪、菱形14﹪、箏形32﹪、不規則的四邊形20﹪，有此迷思概念。

 

研究者依據上述六年級學童常出現的四邊形迷思概念來設計本研究的診斷工具－四邊形概念測驗試卷，並依據從文獻中整理出的迷思概念，以及在四邊形概念測驗前測中所發現的迷思概念，來設計診斷教學的方案。

 

 

第二節 兒童幾何概念思考發展之相關理論

 

本節分成van  Hiele 幾何思考層次理論和直觀理論兩部分來探討兒童幾何概念發展的情況，分別敘述如下：

 

一、van  Hiele 幾何思考層次理論

 

民國82年版國小數學課程「圖形與空間」的教材領域，其課程綱要所依據的就是van Hiele的幾何思考層次理論（劉好，民87）。由於本研究探討的是國小高年級學童的幾何圖形概念，對於幾何圖形概念與國小教材的交互關係，及高年級學童的幾何認知發展與van Hiele層次理論的對照，均為本研究所關切的地方。因此本節的內容主要從van Hiele理論切入，探討van Hiele幾何思考模式的特性。

 

（一）van Hiele幾何思考層次

van Hiele 幾何思考層次是由van Hiele夫婦於1957年提出的，他們都是高中的數學老師，有感於其學生幾何表現普遍低落，乃根據Piaget的部分研究發展出此思考模式（Hoffer，1983）。Piaget有關學童的空間概念發展主要是與年齡有關，相對於這個論點，van Hiele夫婦提出的學童幾何思考發展層次的主要論點是認為：幾何的思考有一定的發展層次，而經由老師適當的引導，學童可由較低的思考層次逐步提升到較高的思考層次。他們認為幾何思考的發展較不受學童的年齡、成熟因素的影響。van Hiele夫婦的五個思考層次的特徵以下將述描述之：

 

      1.層次0︰視覺 ( Visuality)

在這個層次的學童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認或再造出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。例如：他們能根據視覺來辨認出長方形與正方形，但無法瞭解長方形與正方形都有四個直角或者它們的對邊都是相等且平行。

2.層次１：分析期（Analysis）

在這個層次的學童能分析圖形特徵及其組成要素，但不能解釋性質之間的關係。他們可經由觀察與實驗操作的方式辨認圖形的特徵，發現某一群體的共有性質或規則。例如：他們能察覺長方形有四個邊、四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，不能解釋性質間的關係。

3.層次２：非形式演繹期（Informal Deduction）

在這個層次的學童能建立圖形特徵的內在關係，他們能瞭解、掌握圖形間的包含關係。例如：長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一個角是90度時，這個平行四邊形就是長方形。這個層次的學童能夠了解定義並解釋非正式的論証，但不能了解證明或定理的重要性，不能由不熟悉的前題去建立證明結果的成立。

4.層次３：形式演繹期（Formal Dedution）

此階段的學童可以透過非正式的論證把先前發現的性質做邏輯的聯結。能進一步探索圖形內在屬性關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性描述出來才能確認其圖形。

5.層次４：嚴密期（Rigor）

達此階段的學童，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如：能區分歐幾里德幾何與非歐幾何的差異，也可以瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。 

                      

 

（二）van Hiele幾何思考模式的特性

Crowley(1987)提出van Hiele五個幾何思考層次的特徵，敘述如下︰

 

1.次序性（Sequential）

在van Hiele幾何思考模式中，學習者發展層次均是循序漸進的，在任一特定層次若要成功的發展，則他必須擁有前一層次的各項概念與策略。

2.進展性（Advancement）

從一層次進階到另一層次是經由教導，並非因為年齡的成長其思考層次跟著成長。

3.內因性與外顯性（Intrinsic and Extrinsic）

在某一層次進階高一層次，受到教學比受到年齡影響的因素大，適當的教學可以提升學童的幾何概念，但是任何的教學都不可能使學童從某一層次跳過一層次到達更高的層次。

4.語言性的（Linguitics）

每一層次均有其自己的語言符號，和這些符號的關聯系統，因能有多種命名，如一正方形，也可稱為長方形，又可稱為平行四邊形。在第一層次的學生可能無法將上述概念化，但到了第二層次即可能理解其間的關聯性。

5.不配合性（Mismatch）

假如學生是屬於第一層次，然而教學的層次卻在另一層次，那麼期望的學習歷程或教學效果就不會發生，尤其是老師的教材內容，教具的選擇，語彙的使用，均屬於較高的一層次，則學生是無法完全理解思考過程與結果。

 

從上面的論述中，我們可以知道四邊形的包含關係是屬於van Hiele層次2的內容，由之前的文獻探討我們可知學童對於四邊形之間的包含關係並不清楚，產生如此迷思的主要原因就是學童不清楚四邊形的基本性質，而學童對於四邊形的性質也確實有許多的迷思概念，而四邊形的基本性質正是屬於van Hiele層次1的內容。從這也印証了van Hiele幾何思考模式有次序性的特性－學習者發展層次均是循序漸進的，在任一特定層次若要成功的發展，則他必須擁有前一層次的各項概念與策略。因此研究者要澄清學童在層次2包含關係上的迷思，就應從層次1重新開始建立與澄清學童四邊形基本性質的概念與迷思。

 

 

二、直觀理論

 

（一）直觀的意義與特性

      Fischbein(1987)認為經驗是塑造直觀的基本因素，經驗在直觀的形成方面，扮演一個基礎的角色，它會漸漸形成一個穩定的表徵系統，其中包含行動與預期的具體結構，同時經驗會因為其內在的強制性而左右我們主要的直觀解釋。Fischbein確定有三種主要的經驗種類與直觀有關：

 

1.人類一般的經驗。

2.有關因居住而產生的特殊地理或人文環境方面的經驗。

3.個人在不同領域中因特別練習所產生的經驗。

 

Fischbein (1987)認為直觀是特別的認知，在這個認知裡直觀扮演一個很重要的角色，這並不是說直觀就一定是錯的，它只是意味著我們主觀的意識是強過於客觀的科學原理與邏輯。他也曾經特別強調不可忽略「直觀」層面的數學活動，他認為直觀是一種理論，意味超乎直接取得的訊息，可由已知去推演未知，且直觀是經驗的綜合，具有整體性與立即性，可立即控制行為。

 

  對於直觀的特徵，Fischbein(1987)提出以下觀點：

 

1.   自明(self-evidence)、立即性(immediacy)：直觀認知是主觀而且不需要外在的理由、形式上的證明或實證資料的支持。

2.   內在必然性(intrinsic certainty)：必然性不代表不證自明，有時是外在影響。一般而言，當設法確定某一直觀認知是否存在，就必先瞭解個體的內在信念到何程度？證據強、信心高就意味著有高直觀。

3.   堅定性(perseverance)：直觀是穩定的，會抑制不同的解釋。

4.   強制性(coerciveness)：在數學方面，直觀的高壓性會使錯誤的解釋不斷持續下去。

5.   理論狀態(theory status)：直觀是一種理論，絕非只是技巧或知覺，它能透過某種特殊經驗的察覺詮釋一般的特性。

6.   能由已知推未知(extrapolativeness)：經由直觀，我們可間接由有限的資料來推測未知。

7.   概括性(globality)：直觀是一種組織過的認知，有單一而整體的觀點，與邏輯思考那種明確、可分析、可推論性完全不同。

8.   暗隱性(implicitness)：雖然直觀不證自明，事實上還是有選擇、統整、推論等複雜的機制，但有些活動經常是無意識的，只有最後的產物才是有意識的。

 

 

（二）原型

       Fischbein（1987）在其研究中所使用的典範（paradigm）和Thomas Kuhn使用的典範（By paradigm）非常相似。不同的是Kuhn使用在社會學上歷史的結構，Fischbein主要是用在個人上主觀的經驗。Kuhn認為科學的典範(paradigm)包含規則、理論、運用以及實用的工具。這和這裡的個人的典範(paradigm)是相同的。對許多學生而言一條切線對一個圓這個特殊的例子，切線變成一種理論，〝切線是一條只碰到曲線的一點的線〞，遺忘了和曲線上某點的傾斜度才是必要的特徵。學生直觀的認為所隱含的理論，主要是關連到某些運用或使用的工具。典範(paradigm)不只是一個印象，為了要有效運用典範(paradigm)作為直觀理解的來源，典範(paradigm)必須綜合理想的結構。

      典範(paradigm)是我們產生的思考的一部分，是我們直觀機制的一部分，而且含有一般性的意義。學生有時候透過典範(paradigm)看不到一般性的意義，這還不是真正的問題。最主要問題在於典範所隱含的概念因人而異，默默的被分界。典範定義概念的過程通常是不受控制的，通常特例的典範會受主觀熟悉的影響變成一個模式，而形成一個原型（prototype）。

Monaghan（2000）晤談英國七年級的中學學生，發現學生普遍認為長方形不是一個平行四邊形，這是因為學生心中普遍存在平行四邊形的原型是水平擺設如右圖       這樣呈現，它隱含的陳述平行四邊形必要的特徵是左、右兩邊必須是傾斜的且相鄰的角不相等。

       中學生拒絕接受長方形是一個平行四邊形，因為對他來說左、右兩邊必須是傾斜的且相鄰的角不相等是平行四邊形的一般性質的概念。因此，原型的問題，不是在自動性地獲得一般意義的能力，而是確認某些規定的特徵。對於原型一般在選取特徵主要是決定於年紀，除了指導和經驗外或許有一些是決定於個人的特性。例如年紀較小的兒童可能可以確認圖畫中明顯的特色，但年紀較大的兒童可能更會被特徵的關係所影響。

對於教導的方法是否能克服原型影響所產生的障礙並沒有確定的實驗證據，但Fischbein（1987）建議我們可以正視以下的想法：首先孩子必須很早就學習定義的意義，在具體操作期裡盡可能的早，而且在形式操作期體驗概念的定義。當肯定平行四邊形是兩組對邊平行或兩組對角相等的四邊形，沒有提到鄰邊或鄰角相等或不相等，這是確實表示平行四邊形的意義。因此，我們可以分析確認一般的特徵，並不是透過概念，而是透過使用的典範或原型而產生。

 

（三）直觀的教育意義

          Feller(1957)曾提出直觀是可以改變的，高度的直觀可經由適當的教學而形成，也就是說科學上有效度的直觀有助於建立科學與數學教育的架構。Suppes(1966)也認為有必要訓練直觀來發現並作數學證明，以及教幾何或實數的直觀知識。在概念的研究中，關於期望與信念的層面，深深影響數學與科學知識的接受與應用，就教師而言，應該要去瞭解這些直觀的影響力，並在教學過程上能加以考慮。

 Fischbein(1987)闡述直觀在教育上的意義。其研究指出概念的形成與直觀的詮釋間會有衝突，教學者要提供教育情境以幫助學生能意識到衝突的存在，過程中教師必須提供清楚分析過的數學性質。例如：直觀上乘法會變大，但若乘於一個小數，此直觀就不再成立了，為了克服這樣的錯誤，不僅要意識到當中的矛盾，還需要分析乘法概念，瞭解衝突的來源。

此外，許多敘述都是不證自明的，因此在介紹數學證明的用處時，時常遭遇困難。直觀幫助學生接受數學，卻也使他們排除了證明的必要性。當提到直觀時，就必須考慮到預測性直觀(anticipatory intuitions)，雖然數學是門演繹系統的知識，而創造活動是建構的過程，包括歸納、分析及模稜兩可的猜測等。預測直觀是充滿自信的，若學生發現他本身的猜測是錯誤的而不說出來，這樣會阻擾他的解題能力；學生必須學會冒險猜測，他應該瞭解這是每個人的解題方式，而不是一種天真的想法。同時，能夠從直觀上、形式上作分析、檢查，相信經由適當的訓練，學生能直觀的察覺到想法上的不一致、不完全。

 

三、小結

每一個人的心中都有無數的概念，每一個概念都由許多的「事例」（instances）來形成其意義範疇或意義內涵，而這個意義範疇有一個很強的核心，且是最典型的事例，稱為原型（prototype）。

    四邊形許多迷思概念是受到直觀、原型的影響，舉例來說學生會將平行四邊形如  看成是長方形，主要原因是學生直觀認為只要圖形是『長長的』就是長方形；而學生認為正方形不是長方形的一種，也就是受到長方形原型          兩組相對的邊一定要有一組較長所影響，而忽略了長方形四個角都是直角的充要條件。同樣學生認為長方形不是平行四邊形的一種，也是受到平行四邊形原型        的影響，認為平行四邊形其中一組相對的邊一定是斜的。

研究者從Fischbein(1987)闡述直觀在教育上的意義中發現教學活動時運若是能善用直觀理論來引起學生認知衝突，對於澄清學童迷思概念很有幫助。舉例而言，學生受直觀的影響，心中正方形的原型就是水平擺設的正方形，所以會認為倒過來擺的正方形是菱形不是正方形。此時只要將倒過來擺的正方形轉成水平擺設，學生直觀認為這是正方形，就會與其之前的想法產生衝突，如此就能澄清學童的迷思。

現今國小幾何教材的編排上，四邊形圖形概念的形成，都是由正方形、長方形開始認識，所以有學童會直觀認為正方形、長方形才是四邊形其他如：梯形、平行四邊形、箏形、菱形就不是四邊形。研究者認為可從學生直觀的想法著手，先從正方形、長方形引導出有四個邊、四個角、四個頂點的圖形是四邊形，再回去驗證梯形、平行四邊形、箏形、菱形是不是四邊形，如此學生就會產生認知衝突，迷思概念也就能得到澄清。

 

 

第三節 診斷教學理論

 

本節對診斷教學理論的意義、特性、步驟以及實施診斷教學相關的策略進行探討，分別敘述如下：

 

一、診斷教學理論的意義

 

            診斷教學理論的承襲可以回溯到所謂的新式Piaget教學法(Bell,Costello & Kuchemann,1983) ，Piaget的認知發展理論認為人類處理資訊的容量會隨年齡增加而增大（引自林福來、李源順，民87）。           

Case(1978)就根據這一個理論提出他的假設：「當學習者所處的學習環境，需求超過他的能力時，就趨向發展出合理但過於簡化的解題策略」，這就是所謂的學童法。Be11（1993）認為面對學童法的錯誤，在教學設計時必須使用診斷教學的策略，使學生有機會主動察覺自己錯了，造成認知上的不平衡，進而產生認知調整的需求。

林福來、黃敏晃和呂玉琴（民85）認為在數學教學的過程中，培養數學感的教學和診斷教學是數學教學的兩個中心想法。診斷教學是教師在教學過程中對問題的呈現，要和學生的學習經驗相連結，並且涵蓋關鍵的概念和學生可能犯的錯誤概念；針對學生容易犯錯的概念設計活動，製造有錯誤概念學生的認知衝突，造成學生認知上的不平衡，而有調整認知的動機。之後再提供正確的認知調整，使學生形成新的認知結構，讓認知能重新獲得平衡，最後在未來的教學過程中適時重返概念點，直到產生持久且可遷移的瞭解。

也就是說診斷教學，要時時檢查學生在重要概念的了解上是否有迷思。若是有，便要讓學生能立刻察覺到自己所犯的迷思概念，然後根據學生發生迷思概念的原因，設計教學活動，使學生的迷思概念得到澄清，能夠調整為正確的概念，並再進一步運用問題強化學生已學習的概念，使學生不再發生的迷思。

 

二、診斷教學理論的特性

 

研究者依據Be11（1993）的想法，整理出下列六點診斷教學理論的特性：

1.   教學活動的設計要與學童之前的先備經驗相連結。

2.   教學中使用的問題，要包含正確的概念和可能的迷思概念。

3.   能運用彈性的問題，讓不同概念層次的學童都能感覺到有挑戰性。

4.   診斷教學活動要讓有迷思概念的學童產生認知衝突。

5.   對要化解的衝突進行徹底討論，讓學童形成新的知識結構。

6.   讓學童產生認知衝突後，能夠更進一步提出問題做回饋，以鞏固學童的概念。

 

 

三、 實施診斷教學的步驟

 

 林福來（民88，引自李源順，民90）所主持的教學思維討論小組在經過多年的教學研究與討論之後，將診斷教學理論的實行步驟化。他們將診斷教學實作分為三個步驟：學生所犯迷思概念的診斷，針對學生的迷思概念進行認知衝突，以及調整學生認知的教學。教學思維討論小組同時把教師在教學時有關診斷教學實作的表現，細分如下：

       （一）迷思概念

             依教師對於學生的迷思概念所表現的行動，分成四類：

1.   教師採取忽視的行動。

2.   教師理會學生所犯的迷思概念。

3.   教師直接告知學生會犯的迷思概念。

4.   教師能診斷學生的迷思概念。

       （二）認知衝突

依教師對學生所犯的迷思概念，是否有進行認知衝突教學的意圖，分為三類：

1.   沒有意圖。

2.   教師雖然有意圖，但未能對學生形成認知衝突。

3.   已造成學生的認知衝突。

（三）調整教學

              依教師對學生的迷思概念所做的教學行動，分為下列四類：

1.   教師沒有處理學生的迷思概念。

2.   教師僅進行程序性的教學。

3.   教師能針對關鍵概念進行教學。

4.   教師能利用有效教學策略使學生的認知再度平衡。

 

依據上述所擬的三個步驟可知，所謂的診斷教學就是教師在教學的過程中，能夠診斷出學生容易犯的迷思概念，並設法利用認知衝突來造成學生認知上的不平衡，最後再利用有效的教學策略使學生的認知再度平衡。

 

 

四、  診斷教學理論的相關教學策略

 

診斷教學最主要的目的就是教師要能運用有效的教學策略來澄清學生的迷思概念，使學生的認知能重返平衡點。以教師為中心的傳統教學法是很難改變學生的迷思概念，到底有哪些方法可以促進學生概念改變呢？研究者整理文獻發現下面三種教學策略較常運用在概念的澄清上。

 

（一）類比（analogy）教學策略

根據張川木（民85）、郭金美（民86）、邱美虹（民89）的研究皆指出妥善應用類比教學策略，有助於澄清學生的迷思概念。類比教學策略是建構論中概念改變學習的一種有效教學方法，也就是當學習者進行概念學習時，教學者引用學習者熟悉的舊經驗當作類比物，將不熟悉的新概念作為標的物相互連結而建立的概念架構。

 

         Duit（1991）認為類比具有以下六種功能與優點：

1.   在概念改變學習方面，類比是有價值的工具。

2.   類比能促進抽象概念的瞭解。

3.   類比能引起學生的興趣、引發動機。

4.   類比促使教師考慮學生的先備知識（背景知識）。

5.   類比能揭露學生的迷思概念。

6.   許多類比的功能在於促使抽象的標的物領域知識「意象化」。

 

殷堰工（民86）指出數學領域常用的的類比方式有降維類比和數形類比兩項，下面是對這兩種類比方式的說明：

1.   降維類比：

當解決高維度空間中的某些問題時，往往可以透過與低      維度空間類似問題的類比推理而獲得解決。研究者以Polya（閻育蘇 譯，民88）解決空間分割的問題為例：

類比物：三條相異直線最多能將平面分割成幾部分？

標的物：四個相異平面最多能將空間分割成幾部分？

 

對應關係如下：

類比物：將平面分割成七部分。一個有限區域（三角形的內部），其餘都是無限區域，其中三個平面與三角形有一共邊，另外三個與三角形有一共點。

標的物：將空間分割成15 部分。一個有限區域（四面體的內部），其餘都是無限區域，其中有四個與四面體共一面，另外有六個與四面體共一條稜，還有四個與四面體共一個頂點。類比推理對於數學家、科學家而言，都是解題的重要關鍵。

2.   數形類比：

透過與「形」的比較去推測「數」的有關性質，透過與「數」的比較去推測「形」的有關性質，數形的結合可從中獲得問題的解決，這就是所謂的數形類比。

江佳惠（民90）以幾何面積為類比物教授國一代數乘法公式進行研究，研究者以和的平方公式(a + b)2＝a2 + 2ab + b2為例（表2-1）做簡略說明。其研究的結果發現，以幾何面積為類比物教授代數乘法公式，可有效提昇學生對於抽象代數乘法公式的理解，並能破除學生在乘法公式上的迷思概念、降低學生在思考上的困難。

 

表2-1：和的平方公式(a + b)2＝a2 + 2ab + b2類比教學比較表

 

類比物

標的物

計算式

a2

(a + b)2＝a2 + 2ab + b2

 

面積拼圖

       

說明

邊長為a，正方形面積為邊長×邊長＝a2

正方形面積為邊長×邊長＝(a + b)2 ＝兩個小的正方形與兩個小的長方形之面積和＝a2 + b2 + ab + ab＝a2 + 2ab + b2

類比教學是概念改變學習一種有效的學習策略，可自相似的真實世界了解抽象的事物，提供抽象物的可見性，激發學生興趣和學習動機，鼓勵教師去考慮學生的迷思概念。不過水可載舟、亦可覆舟，類比的濫用或誤用亦極易造成學童的迷思概念，例如僅提到水流去扮演電流的類比，但電流是屬於『過程』的本體範疇，以水流來作類比，學生可能會認為電流如同水流是一種『物質』範疇，而認為電流具有空間和體積的迷思概念。因此要避免類比教學策略的誤用，對於類比物與標的物的選擇應該要格外謹慎。

 

（二）認知衝突(conceptual conflict)

認知衝突的方式有很多，其共通點皆是在引起學生的先前知識，再以衝突的產生來改變其認知結構或心智模式，使學生的迷思概念得到澄清。以異例法為例，張川木（民85）指出異例(discrepant event or anomaly)的功能是扮演著誘發學生面臨問題時能產生概念上的衝突。在教學上，希望經由此種認知衝突的歷程，學生可以察覺其腦海內既有知識和正統知識間有某種差異存在，藉此幫助學生重建其認知結構。教學程序如下：

第一階段：製造曝露事件。製造曝露事件之歷程即是呈現一“工作"(task)給學生，然後要求學生對此工作說出他們的想法及其背後的理由。在此階段，老師採取中立但是幫助學生引出他們自己觀念的立場。當學生說出並辯論某論點的優劣後，即是引入異例的時刻。

第二階段：引入異例。異例的作用在於充當一媒介物促使學生察覺到其個人偏好之概念和真正觀察到的現象間之差異，藉著此種歷程引起學生產生認知衝突。

第三階段：調適期。當認知衝突產生後，老師應鼓勵學生找尋答案來解釋異例，以便調整原先的迷思概念，並進而接受正統的科學知識。

 

國內外有相當多的診斷教學實驗是以認知衝突的理念來設計執行。Bell（1993）的一個教學實驗中，讓學生先自己解答間題，再利用同儕間的討論與辯論，或者利用不同的問題表徵(數線、數)與計算器，來產生認知衝突，然後再經由深入徹底的討論以強化概念，也獲致相當正面的成果。

Stavy & Tirosh(l999)界定出四種關於兒童學習數學的直觀規則理論：『A比較多則B比較多（MoreA—MoreB）』、『A相同則B相同（SameA—SameB）』，『有限細分法則（Everything  comes  to  an  end）』，『無限細分法則（Everything  can  be  divided  by  two）』。直觀規則理論讓我們可以預知學生的答案是否正確。因此可以事先設計並利用呈現矛盾的具體證據，呈現和原間題相類似但能誘發正確答案的間題，或呈現正式的知識以製造學生的認知衝突和認知調整。

李源順（民90）整理分析各種教學設計，例如Hart於1984年針對在圖形比例縮漲間題中使用加法策略的學生，利用方格紙與計算器的實驗教學，讓學生使用加法策略的學生察覺計算結果與事實不符的認知衝突，進而調整自己的認知而證實有良好的成效。Booth於1984年以數學機器的模型輔以計算器的使用，並透過同儕討論的方式，在文字符號的單元上診斷學生的迷思概念，並進一步調整學生的認知而獲得良好的成果。Onslow於1986年利用訪談和測驗辨識學童對比例的錯誤概念之後，設計有認知衝突與討論的課堂教學，並進行教學實驗，結果發現使用診斷教學的班級比控制組的班級，對學生錯誤概念的改善維持超過10週的效果。

國內，何明昇（民87）運用診斷工具診斷出國中、小學童體積的迷思概念後，以有認知衝突的實驗操作進行教學，也得到很好的效果。林福來、郭汾派和林光賢（民84）的教學實驗利用相似人形為材料，使在比例單元中利用加法策略的學生，因為使用不當的加法而產生原來有脖子的人與『脖子不見了』的不相似性之認知衝突，再進行放大縮小的學習活動，獲致良好的教學成效。

從上述國內外的實驗成果，可以得到相當充分的實驗證據：認知衝突在診斷教學上是一種有效的數學教學策略。

 

（三）電腦模擬

近十餘年來，電腦對兒童學習形式與教學法等方面有了革命性的影響，因電腦所提供的個別化對談、處方性流程與回饋、生動有趣與快速變化的畫面…等等，不僅使電腦成為一種新的硬體資源以輔助教學，也使得適性教學的理想得以實現(李詠吟、單文經，民86)。

電腦模擬是一種交互作用之媒體。經由操弄此種模擬作用的歷程，學生可直接地探索他們的想法。所以電腦模擬被有些研究者認為是一種用來改變或修正學生迷思概念之潛在有效方法。GSP（THE GEOMETER'S SKETCHPAD）的動態幾何系統是在Window視窗環境內幾何構圖的電腦輔助教學軟體，可以當作尺規作圖的電腦版，當然這不是其全部功能。此套系統在教學上能節省繪圖時間，並簡易地構造動態幾何。經由動態幾何圖形的變換及度量來描述我們可以發現的一些幾何關係，有助於增強開放式的猜測與研究。動態幾何系統軟體，不僅可由簡易尺規作圖構造出複雜幾何圖形，更可對固定結構圖形作連續的變化。它也提供動態模擬、圖形變換及圖形改換時，長度、角度、比例、面積等度量的功能。它更可對結構性作圖作巨集建構、文字說明，形成簡易操作鈕，提供使用者幾何學習的良好環境。

胡凱華（民90）運用GSP讓學生在動態幾何環境中學習圓形概念，發現電腦模擬有助於迷澄清學生的迷思概念。陳雪華（民91）運用GSP進行動態的面積教學，結果發現透過電腦模擬的操作，對於學生在面積直觀的迷思概念澄清上有很好的效果。

 

五、  小結

 

從上述有關診斷教學的探討，可知診斷教學的步驟，首先是要診斷出學生的迷思概念，研究者將運用前面所整理出來的四邊形迷思概念分成圖形辨識、基本性質、包含關係三方面來設計診斷的工具，透過工具的測驗診斷出學童四邊形的迷思概念，在依學童所犯的迷思概念來設計診斷教學活動。澄清迷思概念常用的教學策略有類比、認知衝突、電腦模擬…等。類比的策略常用在抽象問題的解決上，例如：當解決高維度空間中的某些問題時，往往可以透過與低維度空間類似問題的類比推理而獲得解決。認知衝突的方式有很多，其共通點皆是在引起學生的先前知識，再以衝突的產生來改變其認知結構或心智模式，使學生的迷思概念得到澄清。由於本研究是針對兒童四邊形概念來研究，四邊形概念屬於平面幾何圖形概念，比較難以運用類比的方式進行，所以本研究所設計的教學活動，主要透過圖形分類活動讓和造圖活動來診斷出學生的迷思概念，再進一步運用認知衝突的策略，來澄清學童的迷思概念。

由於電腦模擬能讓學童實際操作，國內外有許多研究者認為是一種用來改變或修正學生迷思概念的有效方法。而GSP這套動態幾何軟體有快速製圖、動態模擬、座標化等優點，非常適合讓學生進行動態的變化模擬。所以研究者讓學童實際去操作研究者運用GSP所設計出來的菱形、長方形、平行四邊形，去感受這些圖形的動態變化。並在操作的過程中，提出適當的問題讓學童發現自己的迷思概念，引發學生的認知衝突，使學童的迷思概念得到澄清。

 

 

第四節    教學活動設計

 

為了讓診斷教學活動能夠確實有效診斷學童的迷思概念，研究者在本節先對學生的先備經驗進行探究，接著再分析教學設計常使用的模式來建立本研究診斷教學設計的架構。

 

一、學生的先備經驗

本研究是利用彈性課程自編教材的機會，來設計診斷教學課程。六年級學童在一到五年級已經經歷過多項四邊形概念的學習活動，為何學童對四邊形還有許多迷思概念？在國小幾何課程的教材設計各年級是具連續性的，為了讓診斷教學活動能夠確實有效診斷學童的迷思概念，研究者先分析研究對象一到四年級所使用國編版（民86∼民90）的數學教科書以及五、六年級所使用南一版（民91∼民92）的數學教科書來了解學童到底有哪些先備經驗，再針對之前教學活動不足的地方，加以改進或深入。研究者將學童學習平面圖形的先備經驗簡要說明如下：

（一）國編版一年級上學期

1.   透過積木及實物的造型活動，經驗平面與非平面的區別。

2.   透過描繪實物的表面，分辨三角形、長方形、正方形和圓形等形狀。

3.   透過說、讀、聽、做等練習，加強三角形、正方形、長方形和圓形等術語與圖卡、書空、…等符號的聯結。

4.   透過塗色活動，加強學生對三角形、長方形、正方形和圓形等平面圖形的認識。

（二）國編版一年級下學期

1.   在有背景或其他圖形之下辨認三角形、正方形、長方形和圓形等圖形。

2.   透過觀察及套描等活動，知道圖形板與其外框是同形狀。

3.   在釘板上用橡皮筋圍出圖形。

4.   用兩塊全等（形狀、大小一樣）的色板拼出一個圖形。

5.   經驗一個圖形可由兩塊一樣的圖形所構成。

6.   用一些三角形、正方形或長方形拼成一個指定的圖形。

7.   由實際的拼排，經驗一個圖形可由幾個全等的圖形所構成。

（三）國編版二年級上學期

1.   透過各種疊合方式（自一堆圖形中找出、將圖形剪下、將圖形描出等）認識全等圖形。

2.   透過摺紙、剪紙的活動觀察、經驗對稱的現象。

      （四）國編版二年級下學期無平面圖形的課程。

（五）國編版三年級上學期

1.   嘗試描繪三角形、四邊形，並說明其畫法或描法。

2.   就三角形、四邊形的邊、頂點、角嘗試加以命名，並探討共同約定名稱的需要性，引出約定成俗的稱呼。

3.   複製三角形、四邊形的構成要素：頂點、邊和角。

（六）國編版三年級下學期

1.   觀察具有如摺扇兩邊之直線段交於一點的實物兩邊之張合現象所形成的角，並和圖形板上的角相聯結。

2.   進行角的直觀、直接及間接比較。

3.   由正方形、長方形上的角認識直角，並嘗試摺直角。

4.   辨識圖形板上的直角。

（七）國編版四年級上學期

1.   由製作活動建立垂直與平行的概念，並嘗試畫圖。

（1） 由利用竹籤製作長方形的討論中，知道「垂直」的意義及用語，並畫垂直線。

（2） 由利用摺直角的方法摺出平行線的討論中，知道「平行」的意義及用語。

（3） 嘗試畫平行線。

2.   由辨認及製作活動增進圓的概念及其構成要素的認識。

（1） 由一些類似圓的圖形中，辨認圓形與非圓形。

（2） 透過畫、描、剪、摺圓的活動，認識圓周、圓心、半徑和直徑。

（3） 透過圓規畫圓的活動，加深圓周、圓心和半徑的概念及關係。

（4） 由製作進行四邊形的分類及命名，利用竹籤做出四邊形，進而由邊的等長、平行諸特性認識菱形、平行四邊形、箏形、梯形。

（八）國編版四年級下學期

1.   由製作活動瞭解等腰三角形、正三角形的特性

（1） 利用各種長度的吸管圍三角形，並經驗不能圍成三角形的情形。

（2） 進行等腰三角形和正三角形的命名活動。

2.   利用三角板、吸管、直尺、量角器畫直角三角形、等腰三角形和正三角形。

 （九）南一版五年級上學期

            透過竹籤、描繪圖形等活動，認識多邊形，再利用過去對稱的經驗，找出全等多邊形，進而在完全疊合的情況下找出對應邊和對應角，察覺對應邊一樣長、對應角一樣大的現象，並在對應角塗同樣的顏色，在對應邊畫上同樣的記號，以加深對全等多邊形的理解。

        （十）南一版五年級下學期無平面圖形的課程。

（十一）南一版六年級上學期

1.   複習摺紙的活動，察覺線對稱的現象

2.   透過剪紙、摺紙的活動，認識對角線、對稱軸及線對稱圖形。

3.   透過折疊活動找出正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、箏形哪些是線對稱圖形？並數出這些四邊形各有幾條對稱軸。

4.   透過摺紙活動，認識線對稱圖形的對應點和對應邊。

5.   從方格紙上的線對稱圖形，找出對稱軸和對應的頂點。

（十二）南一版六年級下學期無平面圖形的課程。

從學生的先備經驗中，學生在四邊形的學習活動主要為在釘板上用橡皮筋圍出圖形、用竹籤排圖形、摺紙、剪紙等實際操作活動。實作活動是學習幾何概念最有效的方式，因此研究者所設計的診斷教學活動，也將運用實際操作方式讓學童來學習四邊形概念。

二、教學活動設計理論

要將診斷教學原則運用於教學活動中，在教學前必須有完備周詳教學活動設計之理論部分，以作為設計診斷教學活動的依據。下列提出三種教學設計的模式來作文獻資料的分析探討：

（一） 張祖忻等人(民84)認為教學設計的過程應該要從學習需要分析、教學內容分析、教學對象分析、學習目標的編寫、教學策略設計、教學媒體選擇、教學媒體設計、教學評量八個主要來進行探討。這八個教學設計的要項，可以用下列的流程圖2-1表示：

 

                          修改

 


            教學內容

            分    析

學習需要                學習目標 學習策略 教學媒體  教學媒體   教學評量

的分析                的編寫    設  計   選  擇    設  計 

           教學對象

           分    析                 修改                    總結性評量

                                                                         

圖2-1張祖忻教學模式圖（引自張祖祈等，民84，頁34）

教學系統有一定的目標，這個目標是透過對該系統環境的分析而建立的。而分析系統環境的過程，就是對學習需要進行分析。教學內容分析是對教學目標規定的終點能力、對學習者起點能力轉化為終點能力所需要的知識、技能或能力及其上下左右的關係進行剖析的過程。教學對象分析應充分注意確定每個學習者在參加學習時所具有的一般特徵和起點能力，根據學習者的起點能力進行實際的設計。學習目標的編寫是根據學習者的起點能力和教學內容的分析結果，把單元教學目標進一步分解為一系列子目標。教學策略包括課的劃分、教學順序的安排、教學活動的設計及教學組織形式的選用。教學媒體應根據學習目標、教學策略和媒體特性加以選擇。教學媒體設計是根據教學實施計畫中的具體要求，將教學內容與方法等轉換為印刷或視聽媒體製作的詳細、具體的施工藍圖。教學評量主要評量學習目標的達到程度，以了解教學效果，並做為未來教學改進的依據。

 

（二）歐用生（民83）提出教學常因內容、目標、教材、對象、情境等的不同而有不同的方法，但仍有一個一般的教學模式，見圖2-2：

 

 

 

 

 

 

 

 

 


圖2-2：歐用生一般的教學模式圖（引自歐用生，民83，頁87）

 

教學目標是教師預定學生在經過教學歷程後，所要達到的學習效果。認識學生是在教學前確定學生是否具備教學所需的先備經驗，並為每位學生預定教學活動。教學程序包括教材、教法、教學原則和技術以及實施教學的過程。而在教學過程中或單元結束時，評鑑學生以確定教學是否成功地達成目標，進而根據評鑑結果，再修正教學模式中的其他因素。回饋的目的是指在評鑑之後要如何進行修正，在下次教學能讓學生的學習更進步。

 

（三）林進材（民89）提出國外多種的教學模式給老師參考，其中由教學設計的知名學者Molenda、Heinich和Russel發展出來的ASSURE教學設計模式，深受美國多所大學肯定。ASSURE的名稱係由其模式六個步驟的英文字頭組合而成，各個步驟的重點，分別介紹如下：

 

1.分析學習者（Analyze Learners）：

            教學的內容必須與學習者的特性有關，如學習者的性別、年齡、學習背景…等。教師在設計教學時，應該瞭解學習者的先備經驗與各種特質，以學習者的經驗提升學習成效。

2.陳述學習目標（State Objectives）：

學習目標的陳述可讓教師瞭解教學應達到何種程度，學習結束之後，學習者應具備那些新的知能或態度。因此，教學的重點是學習者在教學歷程中，獲得那些方面的成長。學習目標應盡量具體可行，並考慮學習者、教學條件、行為及程度等。

3.選擇教學媒體與教材（Select Media & Materials）：

            教學媒體與教材的選擇由教師針對教學目標及教學上的各種考量，參考相關的媒體目錄，以提升教學成效。教材的來源可由現成的教材、修正現有的教材及研發教材三種途徑，選擇相關的的媒體與教材。

      4.使用媒體與教材（Utilize Media & Materials）：

媒體與教材的使用包括教學者事前的觀看、安排教學環境、準備好觀賞者、操作或放映教材等步驟。媒體與教材的使用必須配合教學活動的實施，以簡單、方便、效率為準。

5.要求學習者參與（Request Learner Performance）：

教學活動的實施，學習者的參與影響教學成效。教師應提供機會讓學習者練習各種重要的概念及知能，以回饋方式增強學習成效。教學活動的進行，教師可以討論、分享、應用、演練等，提供學習者參與教學的機會。

6. 評鑑及修正（Evaluate/Revise）：

評鑑及修正是教學設計中最後一個步驟，包括對學習者學習成果的評鑑、對教學過程的評量、教學媒體與教材的評量。針對修正教學設計本身，形成新的設計活動。

 

文字方塊: 分析學習者文字方塊: 陳述學習目標文字方塊: 選擇媒體與教材文字方塊: 使用媒體與教材文字方塊: 要求學習者參與文字方塊: 評鑑及修正
 

 

 

 

 


圖2-3 ASSURE教學設計模式圖（引自林進材，民89，頁173）

 

 

三、小結

從學生學習的先備經驗中，研究者發現學生主要透過實際操作活動來學習四邊形。實作活動是學習幾何概念最有效的方式，因此研究者所設計也將運用實際操作的方式來進行四邊形診斷教學活動。

總結上述的教學模式，研究者整理出六項教學設計的要點分別為教學對象、教學目標、教學方法、教學媒體、教學活動、教學評量。研究者也將以這六項要點做為設計診斷教學活動的架構。

 

 

 

文字方塊: 教學對象文字方塊: 教學目標文字方塊: 教學方法文字方塊: 教學媒體文字方塊: 教學活動文字方塊: 教學評量 

 

 

 


圖2-4：診斷教學活動架構圖

 

研究者診斷教學對象為國小六年級學童，教學目標主要是要澄清學童四邊形的迷思概念，讓學童能發展出運用基本性質辨識四邊形的能力。研究者設計四邊形分類活動、四邊形造圖活動、電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形特例三項診斷教學，主要運用認知衝突、電腦動態模擬的教學方法來進行診斷教學。教學媒體的運用，將運用實物投影機來呈現學童的造圖結果，並運用GSP電腦軟體的動態模擬效果來協助澄清學童的迷思概念。最後進行教學評量，以了解學童認知調整改變的情形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第參章    研究方法

 

本研究之主要目的是探討國小六年級學童四邊形的迷思概念，以及診斷教學活動對澄清學童迷思概念的效果。本章共分五節，第一節介紹研究設計、第二節說明研究流程、第三節界定研究對象，第四節說明研究工具的設計，第五節則為描述資料分析與處理的方式。   

 

第一節  研究設計

 

王文科（民83）提出一般國內的教學實驗設計方法，通常都採實驗組、對照組的方式進行。這樣的實驗設計，具有隨機分派受試者於實驗處理的特徵，以達到等組的要求。但研究者受限於學校的現實考量，難以對學生進行隨機分配到實驗組與控制組，加上本研究所設計之診斷教學活動，並非是在原來六年級的數學課程內，而是研究者自行設計診斷教學教材，運用彈性課程的時間來進行，所以也無其他教學活動可以來相互對照，因此本教學實驗研究不採取實驗組、對照組的方式進行。而採取準實驗研究法中單一組別的前、後測設計。其設計的模式如下：

 

                                                                            

            O1    →      X     →     O2    →    O3

 

         （前測）   （診斷教學）   （後測）   （延後測）

                                                                    

 

實驗設計步驟如下：

 

（一）   進行診斷教學實驗之前先對研究樣本進行四邊形概念測驗前測（O1) 。

（二）   前測實施之後，對樣本進行診斷教學（X）。

（三）   進行診斷教學後，研究樣本立刻接受四邊形概念測驗後測(O2)。

（四）   實施後測完一個月後，研究樣本接受四邊形概念測驗延後測(O3)。

 

 

延後測在診斷教學後一個月實施，主要目的是要驗證診斷教學的保留成效。Mayer(2002)指出加強學童的保留概念是重要的教育目標之一，所謂『保留』就是在教學中用了許多方法，而在往後的時間學童還記得哪些內容。更簡單的說法『保留』是學生記得他們學了些什麼。延後測實施最好的方式是在學生放完長假（例如：寒假、暑假）後實施，因為放假期間沒有上課，學生比較不會有其他因素來影響。不過受限於研究對象為六年級學生，今年六月即將畢業，所以研究者採用一般延後測所使用的方式，在教學後一個月對學童進行延後測，而在這一個月的期間內，學童沒有學習任何有關幾何的課程。

 

 

 

 

 

第二節研究流程

 

本研究的流程分為準備階段、預試階段、正式施測階段、資料分析及論文撰寫階段，分別詳述如下：

 

(一)準備階段

研究者確定研究主題後，於91年5月至9月進行資料蒐集，除閱讀相關資料以及文獻探究研究所需理論基礎外並設計研究方法。

        研究者於91年9月至91年12月，進行研究工具的編製。本研究編製的研究工具包括四邊形概念測驗試卷、診斷教學活動、訪談大綱。

 

(二)預試階段

為了能有效掌控整個研究程序並達成研究目的，因此研究者將預試分為兩階段，分述如下：

 

l.四邊形概念測驗預試：

            為了確定四邊形概念紙筆測驗能有效診斷出學童的迷思概念，所以在正式施測前先進行預試，並依據預試的結果來修正筆試的試題及設計診斷教學的教案。研究者於91年12月10日對預試樣本進行四邊形概念測驗的前測。

 

2.診斷教學活動的試教：

            為了確定診斷教學的有效性，所以在正式施測診斷教學前進行試教，並於試教後進一步修正診斷教學教案。研究者於92年1月13日至1月16日進行診斷教學活動的試教。

 

(三)正式施測

研究者於92年2月20日進行四邊形概念測驗前測，前測結束後即開始正式實驗教學，教學時間共計6節課240分鐘，教學期間自92年2月21日至2月26日。實驗教學結束後，於92年2月27日進行四邊形概念後測，實施後測後再對學童進行晤談，並於後測一個月後，也就是92年3月27日進行延後測。

 

(四)資料分析及論文撰寫階段

        研究者在92年3月至6月，將研究期間所蒐集之各式資料加以整理分析之後，提出結論完成論文。茲將本研究的實驗流程列於圖3-1。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

確定研究目的

 


蒐集及閱讀相關文獻

 


                 編製四邊形概念試卷          預試

                 編製診斷教學活動設計

 

 


          

   彙整專家、資深數學教師之     修正

意見做進一步編修

 


選取正式樣本

 


進行前測

 


進行診斷教學

 


進行後測

 


進行晤談

 


進行延後測

 


資料分析

 


撰寫論文

 

圖3-1 研究實施流程圖

 

 

第三節  研究對象

 

    本研究的進行除了正式的施測、診斷教學和後測後的個別晤談外，還包含四邊形概念紙筆測驗的預試及診斷教學活動的試教，茲將各階段所選取的對象作以下說明。

 

（一）   正式樣本

由於考量時間與研究的便利性，以及研究者經費、時間及人力上的限制，本研究選取的正式樣本為台北市大安區開心國小（匿名）的六年A班。此國小全校共68班人數約有1900人，為一常態編班的學校，六年級有10個班約有300人，選取的六年A班男生有16人，女生14人，共計有30位學生。

 

（二）   訪談樣本

            研究者選取的晤談對象主要為四邊形概念測驗的後測成績比前測成績有大幅度進步的學童，以及前測、後測成績都很低且都沒有很大差異者和四邊形概念前測、後測試卷中填寫的理由具有代表性的學童。研究者訪談男生7人、女生6人，共計訪談13人。

 

（三）   四邊形概念紙筆測驗預試樣本

研究者選取與正式樣本相同皆為台北市大安區開心國小（匿名）的六年B班以及台北縣板橋市快樂國小（匿名）的六年C班來進行預試。得到有效樣本男生有36人，女生31人，共計有67位學生。

 

（四）   診斷教學活動試教樣本

考量試教的便利性，研究者從四邊形概念紙筆測驗預試樣本中選取台北市大安區開心國小（匿名）的六年B班為診斷教學活動試教的樣本。

 

 

第四節  研究工具

 

    本研究的研究工具為四邊形概念測驗及診斷教學教案設計。下面依序說明四邊形概念測驗與診斷教學教案設計的編制：

 

一、四邊形概念測驗（附錄一）

（一） 編制之依據及參考

本研究蒐集有關四邊形迷思概念的相關文獻，並從國科會整合型計劃「兒童幾何形體概念調查及診斷教學之研究」所發展的筆試工具B卷（張英傑，民90）、盧銘法（民85）「國小中高年級學生幾何概念之分析研究」的測驗工具、抽取出一些與測驗四邊形迷思概念有關的試題，並依據研究樣本在1∼4年級所使用國立編譯館（民86∼民90）所發展之國民小學數學新課程教科書（包括課本、習作、和教學指引）第1冊至第8冊，以及5∼6年級所使用南一書局（民90∼民92）所發展之國民小學數學新課程教科書（課本、習作、和教學指引）第9冊至第12冊來修正試題以做為本研究筆試的試題。

              

    （二）試題架構與內容

試題架構如底下表3-1所示，筆試分成三大題內容包含選擇與回答問題，題目總計有18題，測驗時間為40分鐘。第一大題1∼6題主要目的是測試學生在四邊形的圖形辨識有哪些迷思概念，以及能否選出長方形、菱形、平行四邊形包含關係的圖形。第二大題7∼11題主要測驗學生在四邊形基本性質上有哪些迷思概念。第三大題12∼18題則是探究學生在四邊形包含關係上有哪些迷思概念。

研究施測時，前測使用A本、後測與延後測都是使用B本。B本與A本的試題架構、題目內容皆相同，只有將三個大題中的題目順序上做一個隨機的改變。以測驗『認為倒轉過來的正方形是菱形不是正方形』迷思概念的題目為例，A本時為第1題，在B本則變為第6題。

表3-1 四邊形概念測驗A本、B本試題架構表

幾何

層次

四邊形迷思概念

A本

題次

B本

題次

視

覺

辨

識

認為倒轉過來的正方形是菱形不是正方形

1

6

認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形

3

4

認為水平擺設的正方形不是菱形

4

3

認為有直角的梯形就不是梯形

5

2

認為平行四邊形、梯形、菱形、箏形與不規則的四邊形不是四邊形

6

1

基

本

性

質

認為『四個邊都一樣長』不是菱形的基本性質

7

11

認為『四個角都是直角』是菱形的基本性質

8

9

認為『兩雙相對的邊互相平行』不是菱形的基本性質

9

10

認為『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』是平行四邊形的基本性質

10

8

認為『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』不是箏形的基本性質

11

7

 

包

含

關

係

 

認為正方形不是長方形的一種特例

2、12

5、18

認為正方形不是菱形的一種特例

4、13

3、17

認為箏形是菱形的一種特例

4、14

3、15

認為菱形不是平行四邊形的一種特例

3、15

4、16

認為正方形不是平行四邊形的一種特例

3、16

4、14

認為長方形不是平行四邊形的一種特例

3、17

4、13

認為梯形是平行四邊形的一種特例

3、18

4、12

 

（三）信度與效度

1.信度：

根據測驗結果進行SPSS的統計分析，以Cronbach 的α係數來估計信度，所得A本信度為 .8857、B本信度為 .9047。

 

2.效度分析

效度主要是檢核試題之內容，以專家效度檢核為主，敦請10位數學專家教師（見附錄二）來進行試題內容效度檢核。

首先請數學專家教師核對試題的命題知識陳述之內容，是否符合本試題的概念架構，並請數學專家教師提供修正的意見。再根據專家所給的意見，將試題再加以修改及精鍊，使試題內容更具效度。研究者將10位數學專家教師對四邊形概念測驗18題的檢核結果統計整理後放在（附錄三），並針對試題未通過八成（8位）以上專家檢視的題目，進一步請教專家，並懇請給予修正的意見，最後整理在（附錄四）來說明試題修正前、後的結果。

 

二、  診斷教學教案設計

 

（一）診斷教學的架構

整個診斷教學教案的架構，研究者根據文獻分析的六項要點：教學對象、教學目標、教學方法、教學活動、教學媒體、教學評量來設計。各項簡要分析如下：

1.   教學對象：國小六年級學童。

2.   教學目標：澄清學童四邊形的迷思概念，讓學童能發展出運用基本性質辨識四邊形的能力。

3.   教學方法：主要運用認知衝突、電腦動態模擬的教學方法來進行診斷教學。

4.   教學活動：研究者從學童在四邊形的圖形辨識、基本性質、包含關係上所出現的迷思概念，設計三項診斷教學活動：【活動一】四邊形分類活動、【活動二】四邊形造圖活動、【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形特例。

5.   教學媒體：研究者將運用實物投影機直接將學童的造圖結果呈現出來，不同於以往在黑板造圖解說。並運用GSP電腦軟體的動態模擬效果來協助澄清學童的迷思概念。

6.   教學評量：除了在教學的過程中進行教學評量外，研究者在診斷教學前先對樣本進行前測，並在診斷教學後對樣本進行後測與延後測，運用統計套裝軟體來比較學童後測、延後測的成績與前測成績是否有顯著差異，並在後測之後進行晤談，以了解學童迷思概念改變的情形。

 

（二）診斷教學的活動

      診斷教學教案設計主要有三項教學活動：【活動一】四邊形分類活動、【活動二】四邊形造圖活動、【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形特例，共計要6節課的時。研究者將三項教學活動的實施計畫整理在（附錄五），這裡簡單說明三項教學活動設計的理念：

 

【活動一】四邊形分類活動

沈佩芳（民91）在晤談高年級學童平面幾何概念的過程中，事先佈置好正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、箏形六張圖卡，讓學童運用基本性質進行分類活動，來看學童在四邊形基本性質的迷思概念為何？研究者所設計的【活動一】四邊形分類活動，就是依照這樣的想法將分類活動使用在教學上，先運用分類活動診斷出學生的迷思概念，再運用認知衝突的方式來加以澄清學童的迷思概念。

為了能夠確實瞭解學生在診斷教學前後的改變，研究者先讓學生用藍筆填寫基本性質學習單（附錄六），學生需依照自己填寫學習單的結果來進行分類活動，並將分類結果展示在白板上，從分類結果中可以診斷出學生在基本性質上的迷思概念。研究者診斷出學生在基本性質的迷思概念後，讓學童運用工具及四邊形圖形單（附錄七）來進行實際測量與摺紙的活動，在測量與摺紙活動中讓學童產生認知衝突來澄清學童的迷思概念。活動最後，研究者再一次讓學生用紅筆填寫基本性質學習單，再以前後的結果來分析學生認知調整的情形。

 

【活動二】四邊形造圖活動

學生在1~5年級學習過四邊形的課程，但對於四邊形仍有迷思概念，有可能是在學習的過程中出現錯誤的理解。舉例而言，一般教科書所出現的正方形都是水平擺設的正方形    ，所出現的菱形都是鉛垂擺設  ，所以當正方形倒過來擺時    ，有迷思概念的學生會認為這是菱形而不是正方形。

 

研究者從謝貞秀（民91）的研究中發現，學童在進行四邊形的造圖活動中，呈現出多項的迷思概念。所以研究者所設計【活動二】四邊形造圖活動，一開始先請學童盡量在點狀方格紙上畫出不同的某一種四邊形，如此除了能看學童能不能以不同的方式來呈現某一種四邊形外，並運用學童的造圖結果，來進行診斷教學活動。教學最後再讓學生進行一次造圖活動，再以前後的造圖結果來分析學生認知調整的情形。並且在【活動三】的最後再讓學生訂正錯誤的圖形或增加新的圖形，以前後兩次造圖的結果，來看學童經過診斷教學後迷思概念澄清的效果。

 

【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形的特例

電腦模擬因為能讓學童實際操作，有許多研究者認為這是一種用來改變或修正學生迷思概念的有效方法。而GSP這套動態幾何軟體有快速製圖、動態模擬、座標化等優點，非常適合讓學生操弄，作動態模擬的變化。陳雪華（民91）運用GSP進行動態的面積診斷教學，結果發現透過電腦模擬的操作，對於澄清學童直觀面積概念上的迷思有很好的效果。學生在六年級之前，都沒有透過電腦動態模擬來學習幾何圖形的經驗，因此研究者希望讓學生透過實際操作研究者以GSP動態幾何軟體所設計出來的長方形、菱形、平行四邊形檔案，來澄清學童在長方形、菱形、平行四邊形包含關係上的迷思概念。在【活動三】結束前，研究者將學童在【活動二】第二次造圖的點狀方格紙發還，讓學生訂正錯誤的圖形或增加新的圖形，運用這樣的方式來檢驗原本在長方形、菱形、平行四邊形造圖時沒畫出包含關係圖形的學童，於GSP的診斷教學後，能否畫出包含關係的圖形。

 

（三）診斷教學的效度

為了確保診斷教學教案的效度，除了請『兒童幾何概念調查及診斷教學研究』之研究小組的教授與專家教師提供修正意見外，在試教時並讓該校任教數學的老師來進行觀摩，觀摩後也請老師提供修改的意見，研究者依據這些意見進行修正（附錄八），最後形成正式的教學教案。

 

三、訪談大綱

    為了探討診斷教學前後學生四邊形迷思概念轉變的情形，研究者計畫在實驗教學之後對學生進行半結構式的訪談，訪談內容包含學生的想法、學生的解題策略以及診斷教學教材內容…等。其訪談步驟大致如下：

1.   你能說說看這個題目是在問什麼？

2.   為什麼你選這個答案？為什麼你寫這個理由？你是怎麼想的？

3.   為什麼前測、後測兩次測驗所選的答案不同？

4.   你在回答這個題目時，有想到哪些上課的內容？

    

 

第五節  資料分析與處理

 

    本研究擬以質、量並用的方式來進行研究，在量的部分先對學生在四邊形概念前測各題的通過率進行分析，來了解學生學生在診斷教學前有哪些迷思概念？接著運用SPSS統計套裝軟體對四邊形概念測驗前測、後測、延後測的成績進行T檢定及變異數分析來分析診斷教學實驗的立即成效與保留成效。在質的部分運用蒐集的資料有四邊形概念測驗中回答的理由、教學原案（附件八）、學生於教學活動中所留下的紀錄、訪談等資料來驗證學童在診斷教學之後能否進行認知調整。其中教學原案編碼的方式：第1碼為教學活動次序、第2-4碼：流水號、第5碼之後：T代表教師，SS代表全部學生，Sn（n為學生坐號）代表個別的學生；訪談編碼的方式：第1-2碼：流水號、第3碼之後：T代表教師，Sn（n為學生坐號）代表個別的學生。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第四章 結果與討論

 

本章第一節先將四邊形概念測驗前測、後測、延後測的成績，運用SPSS統計套裝軟體進行量的分析來檢驗四邊形迷思概念診斷教學的實施成效。接著第二節運用訪談紀錄、診斷教學原案以及學童在四邊形概念測驗答題的紀錄..等質性資料來檢視診斷教學之設計模式與實施歷程，最後第三節是診斷教學後的省思。以下就是研究者對各節的敘述分析：

 

第一節 四邊形迷思概念診斷教學的實施成效

 

研究者進行前測主要是要了解學生有哪些四邊形的迷思概念，並依據學生所出現的迷思概念來進行診斷教學設計。進行後測主要目的是了解診斷教學實驗的立即成效，而進行延後測是為了驗證診斷教學的保留成效。參與診斷教學實驗研究的學生共有30人，研究者將30位學生四邊形概念測驗前測、後測、延後測的資料，透過SPSS 10.0版統計套裝軟體來處理。

本節分成四部分：前三部分分別從全部學童、男女學童、高中低分組學童三方面來分析診斷教學實驗的立即成效與保留成效。最後進行四邊形概念測驗前測、後測、延後測通過率的分析，來了解研究對象在診斷教學前有哪些四邊形迷思概念，以及診斷教學對澄清各個迷思概念的效果。

 

 

壹、  全部學童四邊形概念測驗成績的統計分析

 

一、診斷教學實驗的立即成效

  本研究透過T檢定來考驗全部學童前測成績與後測成績是否有差異，以了解教學實驗的立即成效，其統計結果如下表4-1。

 

 

 

 

 

 

表4-1：全部學童後測-前測成績T檢定

 

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

後測 - 前測

13.1667

8.4978

1.5515

9.9935

16.3398

8.487

29

.000＊＊

** P<.01    * P<.05

 

由表4-1可知，學生後測成績比前測成績進步約13.17分，其平均數的差異也達到顯著水準（t ＝8.487，p＜.05），由此可知研究者設計的診斷教學實驗對於澄清學童的四邊形迷思概念有立即的成效。

 

二、診斷教學實驗的保留成效

 

由表4-2延後測與前測成績T檢定可知，延後測與前測平均成績達到顯著差異（t ＝7.877，p＜.05），研究者設計的診斷教學實驗在一個月後對於澄清學童的四邊形迷思概念仍有良好的成效。再由表4-3延後測與後測成績T檢定可知，延後測與後測成績沒有顯著差異（t ＝-1.472，p＞.05），學生在診斷教學後概念的保留成效良好。

 

表4-2：全部學童延後測-前測成績T檢定

 

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

延後測 - 前測

12.4333

8.6450

1.5784

9.2052

15.6614

7.877

29

.000＊＊

** P<.01    * P<.05

 

 

 

 

表4-3：全部學童延後測-後測成績T檢定

 

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

延後測 – 後測

-.7333

2.7283

.4981

-1.7521

.2854

-1.472

29

.152

** P<.01   * P<.05

 

貳、  男女生四邊形概念測驗成績的統計分析

 

參與診斷教學實驗研究的學生共有30人，其中男生16人、女生14人，研究者將男女學生四邊形概念測驗前測、後測、延後測的平均成績整理成表4-4，並進一步運用SPSS 10.0版統計軟體處理，來分析男女生診斷教學實驗的立即成效與保留成效。

 

表4-4：男女生四邊形概念測驗平均成績統計表

             四邊形概念測驗

       性別

前測

平均成績

後測

平均成績

延後測

平均成績

男生

59.0625

72.3750

72.6875

女生

56.7143

69.7143

67.7857

 

 

一、   診斷教學實驗的立即成效

 

由表4-4可知男女生的後測成績都比前測成績進步。再更進一步對男女生後測成績與前測成績進行T檢定（見表4-5），男生（t ＝5.995，p＜.05）、女生（t ＝5.814，p＜.05）都達到顯著差異，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清男女生的四邊形迷思概念有立即的成效。

 

 

 

表4-5：男女生後測-前測成績T檢定

   後測-前測成績T

   檢定

性別

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

男生

13.3125

8.8823

2.2206

8.5794

18.0456

5.995

15

.000＊＊

女生

13.0000

8.3666

2.2361

8.1693

17.8307

5.814

13

.000＊＊

** P<.01      * P<.05

 

由表4-6結果顯示F=.623（P＞.05）男女生之後測成績具有同質性，再經由變異數同質分析，並以前測成績作為共變量藉以排除前測成績所造成的差異性，如表4-7結果顯示，F檢定值為.217(P>.05)，表示男女生之後測成績並未達顯著差異。這也顯示診斷教學對於男女學童的教學成效沒有差異。

 

表4-6：男女生後測成績同質性檢定結果摘要表

F檢定

分子自由度

分母自由度

顯著性

.623

1

28

.437

 

表4-7：男女生後測變異數分析摘要表

變異來源

型Ⅲ平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

性別

11.393

1

11.393

.217

.645

誤差

1417.866

27

52.514

 

 

矯正後的總數

3049.467

29

 

 

 

以前測成績為共變量

 

二、診斷教學實驗的保留成效

 

由前面表4-4可知男女生延後測成績也都比前測進步，再對男女生延後測成績與前測成績進行T檢定（見表4-8），男生（t ＝6.104，p＜.05）、女生（t ＝4.916，p＜.05）都達到顯著差異。由此可知研究者所設計的診斷教學活動在教學後一個月對於澄清男女生的四邊形迷思概念仍有良好的成效。再分別對男女生延後測與後測成績進行T檢定（見表4-9），男生延後測與後測成績沒有顯著差異（t ＝.530，p＞.05），表示男生在診斷教學後概念的保留成效良好，所以男生延後測比後測成績進步約0.31分。而女生延後測與後測成績達到顯著差異（t ＝-2.670，p＜.05），比較延後測與後測成績的差距，女生延後測成績比後測成績退步約1.93分，由此表示診斷教學對於女生的概念保留沒有顯著的效果。

 

表4-8：男女生延後測-前測成績T檢定

延後測-前測成績T檢

定

性別

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

男生

13.625

8.9284

2.2321

8.8674

18.3826

6.104

15

.000＊＊

女生

11.071

8.4258

2.2519

6.2065

15.9364

4.916

13

.000＊＊

** P<.01      * P<.05

 

表4-9：男女生延後測-後測成績T檢定

延後測-後測成績T

     檢定

性別

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

男生

.3125

2.3585

.8596

-9.443

1.5693

.530

15

.604

女生

-1.9286

2.7023

.7222

-3.4888

-.3683

-2.670

13

.019＊

** P<.01      * P<.05

 

由表4-10結果顯示F=.312（P＞.05）男女生之後測成績具有同質性，再經由變異數同質分析，並以前測成績、後測成績作為共變量藉以排除前測、後測成績所造成的差異性，如表4-11結果顯示，F＝6.601     (P＜.05)，表示男女生之延後測成績達到顯著差異。這與前面表4-9  的結果符合，男生的概念保留有良好成效而女生則無，所以男女生四邊形概念的保留成效有顯著差異。

 

表4-10：男女生延後測成績同質性檢定結果摘要表

F檢定

分子自由度

分母自由度

顯著性

.312

1

28

.581

 

表4-11：男女生延後測變異數分析摘要表

變異來源

型Ⅲ平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

性別

42.223

1

42.223

6.601

.016

誤差

166.317

26

6.397

 

 

矯正後的總數

2997.200

29

 

 

 

以前測成績、後測成績為共變量

 

參、  高、中、低分組學童四邊形概念測驗成績的統計分析

 

為了解不同數學能力學生之學習成效，研究者將學童分成高、中、低三個分組來分析。由於樣本人數只有30人，為了確保分組的有效性，研究者依照張郁雯（民92）所運用的統計方式，先將30位學童依照前測成績分成高、中、低三組，每組都是10人。再以SPSS統計套裝軟體進行單因子變異數分析。由表4-12顯示（F值＝.912，P＞ 0.05），高、中、低分組不同數學能力的學生前測成績均具有同質性。再看表4-13， F值＝129.084 (P< 0.05)，顯示高、中、低分組的前測成績達到統計上的顯著性。吳明隆（民88）指出事後比較分析的方法很多，使用Scheffe法較富強韌性，可控制整體α值等於.05。因此研究者再以Scheffe法進行事後比較，由表4- 15 可知無論高分組和中分組、高分組和低分組、中分組和低分組的數學能力確實有顯著差異。

 

表4-12：不同數學能力學生前測成績同質性檢定結果摘要表

F檢定

分子自由度

分母自由度

顯著性

.912

2

27

.414

 

表4-13：不同數學能力學生前測成績之單因子變異數分析

 

平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

組間

3948.067

2

1974.033

129.084

.000**

組內

412.900

27

15.293

 

 

總數

605.310

29

 

 

 

    ** P<.01    * P<.05

 

表4-14：Scheffe法事後比較高、中、低分組學童的前測成績摘要表

組別

組別

平均差異

標準誤

顯著性

95% 信賴區間

下界

上界

高分組

中分組

14.0000(*)

1.749

.000

9.4704

18.5296

低分組

28.1000(*)

1.749

.000

23.5704

32.6296

中分組

 

高分組

-14.0000(*)

1.749

.000

-18.5296

-9.4704

低分組

14.1000(*)

1.749

.000

9.5704

18.6296

低分組

 

高分組

-28.1000(*)

1.749

.000

-32.6296

-23.5704

中分組

-14.1000(*)

1.749

.000

-18.6296

-9.5704

 * P<.05

 

研究者再將高、中、低分組學童四邊形概念測驗前測、後測、延後測的平均成績整理成表4-15，並進一步運用SPSS 10.0版統計軟體處理，來進一步分析高、中、低分組學童診斷教學實驗的立即成效與保留成效。

 

表4-15高、中、低分組學童四邊形概念測驗平均成績統計表

             四邊形概念測驗

       性別

前測

平均成績

後測

平均成績

延後測

平均成績

高分組

72.00

78.20

77.50

中分組

58.00

72.70

71.10

低分組

43.90

62.50

62.60

 

 

 

一、診斷教學實驗的立即成效

 

由表4-15顯示不論是高分組、中分組、低分組的學童後測成績都比前測成績進步。再更進一步對高、中、低分組學童的後測成績與前測成績進行單因子變異數分析（見表4-16），高分組（t ＝5.248，p＜.05）、中分組（t ＝8.393，p＜.05）、低分組（t ＝5.920，p＜.05）都達到顯著差異，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清高、中、低分組學童的四邊形迷思概念有立即的成效。

表4-16：高、中、低分組學童後測-前測成績單因子變異數分析

後測-前測成績T

檢定

組別

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

高分組

6.2000

3.7357

1.1813

3.5276

8.8724

5.248

9

.001＊＊

中分組

14.7000

5.5388

1.7515

10.7378

18.6622

8.393

9

.000＊＊

低分組

18.6000

9.9353

3.1418

11.4927

25.7073

5.920

9

.000＊＊

** P<.01    * P<.05

 

以SPSS統計套裝軟體對不同能力學童的後測成績進行共變數分析。由表4-17顯示（F值＝1.811，P＞ 0.05），高、中、低分組不同數學能力的學生後測成績均具有同質性。並以前測成績所得結果作為共變量藉以排除前測成績的差異性，結果如表4-18所示， F值＝1.443 (P＞ 0.05)，高、中、低分組學童的後測成績沒有顯著差異。這也顯示診斷教學對於高、中、低分組不同數學能力的學童的教學成效沒有差異。

 

表4-17 高、中、低分組學童後測成績同質性檢定結果摘要表

F檢定

分子自由度

分母自由度

顯著性

1.811

2

27

.183

 

 

 

表4-18高、中、低分組學童後測變異數分析摘要表

變異來源

型Ⅲ平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

能力

142.767

2

71.384

1.443

.255

誤差

1286.491

26

49.480

 

 

矯正後的總數

3049.467

29

 

 

 

以前測成績為共變量

 

二、   診斷教學實驗的保留成效

 

由表4-15可知高、中、低分組學童延後測成績都比前測成績進步，再更進一步對高、中、低分組延後測成績與前測成績進行單因子變異數分析（見表4-19），高分組（t ＝4.964，p＜.05）、中分組（t ＝7.213，p＜.05）、低分組（t ＝5.973，p＜.05）都達到顯著差異。由此可知研究者所設計的診斷教學活動在教學後一個月對於澄清高、中、低分組的四邊形迷思概念仍有良好的成效。

再進一步了解診斷教學後高、中、低分組概念的保留成效，對高、中、低分組延後測成績與後測成績進行單因子變異數分析（見表4-20），高分組（t ＝-1.353，p＞.05）、中分組（t ＝-1.546，p＞.05）、低分組（t ＝.105，p＞.05）都沒有顯著差異。由此顯示研究者所設計的診斷教學對於高、中、低分組的學童概念保留都有顯著成效。

 

表4-19：高、中、低分組學童延後測-前測成績單因子變異數分析

延後測-前測成績 T

 檢定

組別

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

高分組

5.5000

3.5040

1.1081

2.9934

8.0066

4.964

9

.001＊＊

中分組

13.1000

5.7436

1.8163

8.9913

17.2087

7.213

9

.000＊＊

低分組

18.7000

9.9001

3.1307

11.6179

25.7821

5.973

9

.000＊＊

** P<.01    * P<.05

 

表4-20：高、中、低分組學童延後測-後測成績單因子變異數分析

後測-前測成績T

檢定

組別

成對變數差異

t

自由度

顯著性 (雙尾)

平均數

標準差

平均數的

標準誤

差異的 95% 信賴區間

下界

上界

 

高分組

-.7000

1.6364

.5175

-1.8706

.4706

-1.353

9

.209

中分組

-1.600

3.2728

1.0349

-3.9412

.7412

-1.546

9

.157

低分組

.1000

2.9981

.9481

-2.0447

2.2447

.105

9

.918

** P<.01    * P<.05

 

再看表4-21， F值＝1.546 (P＞ 0.05)，顯示高、中、低分組的延後測成績達到統計上的顯著性。高、中、低分組不同數學能力的學生後測成績均具有同質性。並以前測成績、後測成績作為共變量藉以排除前測成績、後測成績的差異性，結果如表4-22所示，F值＝1.467 (P＞ 0.05)，高、中、低分組學童延後測成績沒有顯著差異。這也顯示高、中、低分組不同數學能力的學生概念保留都有良好的效果，所以沒有顯著差異。

 

表4-21：高、中、低分組學童延後測成績同質性檢定結果摘要表

F檢定

分子自由度

分母自由度

顯著性

1.546

2

27

.231

 

表4-22：高、中、低分組學童延後測變異數分析摘要表

變異來源

型Ⅲ平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

能力

21.900

2

10.950

1.467

.250

誤差

186.639

25

7.466

 

 

矯正後的總數

2997.200

29

 

 

 

以前測成績、後測成績為共變量

 

 

 

 

研究者運用雙因子共變數分析的統計方法來看在排除前測成績之後，不同能力與性別在後測成績上是否有顯著的交互作用？由表的結果可知，F值＝1.593 (P＞ 0.05)， 不同能力與性別在後測成績上沒有顯著的交互作用。

 

表4-23：不同能力與性別在後測成績上是否有顯著交互作用摘要表

變異來源

型Ⅲ平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

能力＊性別

155.217

2

77.608

1.593

.225

誤差

1120.351

23

48.711

 

 

矯正後的總數

3049.467

29

 

 

 

以前測成績為共變量

 

再運用雙因子共變數分析的統計方法來看在排除前測、後測成績之後，不同能力與性別在延後測成績上是否有顯著的交互作用？由表的結果可知，F值＝1.814 (P＞ 0.05)， 不同能力與性別在延後測成績上並沒有顯著的交互作用。

 

表4-24：不同能力與性別在延後測成績上是否有顯著交互作用摘要表

變異來源

型Ⅲ平方和

自由度

平均平方和

F檢定

顯著性

能力＊性別

20.814

2

10.407

1.814

.187

誤差

126.220

22

5.737

 

 

矯正後的總數

2997.200

29

 

 

 

以前測成績、後測成績為共變量

 

 

 

 

 

 

 

 

肆、四邊形概念測驗前測、後測、延後測通過率的分析

 

下面依照試題架構從圖形辨識、基本性質、包含關係三方面來進行四邊形概念測驗前測、後測、延後測通過率的分析：

 

一、   圖形辨識的分析

 

（一）正方形（四邊形概念測驗第1題）

由下面表4-25可知在正方形的圖形辨識上，圖ㄅ倒過來擺設的正方形通過率最低只有80﹪，有20﹪學童可能認為倒轉過來的正方形是菱形不是正方形。這與謝貞秀（民91）發現有些學童『認為正方形一定是正正方方的，而將斜放的正方形當作是菱形』的研究結果一致。

針對學童出現『倒轉過來的正方形是菱形不是正方形』的迷思概念，研究者在【活動二】四邊形造圖活動中進行診斷教學，診斷教學後所進行的後測通過率提升為100﹪，延後測為100﹪都比前測80﹪要高。由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『倒轉過來的正方形是菱形不是正方形』的迷思概念有好的成效。

然而前測通過率達到100﹪的圖ㄇ菱形，到了後測通過率退步為80﹪，研究者找出前測答對，後測答錯的同學進一步訪談，訪談結果顯示，學童會簡化正方形的條件。認為菱形四個邊都一樣長所以就是正方形。而產生這個新的迷思概念，可能學童在GSP動態模擬菱形時曾模擬出正方形，就因此直觀認為菱形＝正方形，而不知道正方形是菱形的一種，但菱形不是正方形的一種。舉例如下：

 

01T  ：你在前測沒有選ㄇ，後測為何選ㄇ？（老師手指選項ㄇ）

02S05：因為菱形有四個邊一樣長。

03T  ：這個題目是問什麼？

04S05：哪些圖形是正方形。

05T  ：那你認為菱形是正方形的一種，對不對？

06S05：對。

05T  ：你是怎麼知道的？

06S05：在GSP動態模擬菱形時就有出現正方形。

表4-25：正方形前測、後測、延後測的通過率

       圖號

 

通過率

文字方塊: ㄅ

 

 

 

     ㄆ

     ㄇ

 

  

  

 

      ㄈ

前測（﹪）

80

100

100

96.7

後測（﹪）

100

100

80

100

延後測（﹪）

100

100

83.3

96.7

 

（二）長方形（四邊形概念測驗第2題）

由下面表4-26可知在長方形的圖形辨識上，圖ㄅ平行四邊形通過率為93.3﹪，代表學童不會直觀認為只要長長的圖形就是長方形。圖ㄇ正方形通過率最低只有26.7﹪，有73.3﹪學童『認為正方形不是長方形的一種特例』。這與林軍治（民81）指出學童『不認為正方形是長方形的一種特別例子』的研究結果一致。

針對學童出現『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思概念，研究者在【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊的特例活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測通過率提升為86.7﹪、延後測為76.7﹪都比前測通過率26.7﹪要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思概念有良好的效果。

 

表4-26：長方形前測、後測、延後測的通過率

       圖號

 

通過率

平行四邊形:

     ㄅ

 

 

      ㄆ

      ㄇ

 

      ㄈ

前測（﹪）

93.3

100

26.7

96.7

後測（﹪）

86.7

100

86.7

96.7

延後測（﹪）

86.7

93.3

76.7

96.7

 

 

 

（三）平行四邊形（四邊形概念測驗第3題）

由下面表4-27可知在平行四邊形的圖形辨識上，圖ㄅ正方形、圖ㄇ長方形、圖ㄉ菱形的通過率分別只有36.7﹪、36.7﹪、46.7﹪，顯示學童對於平行四邊形包含關係不清楚，有『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的迷思存在。這三項迷思概念依序與Burger＆Shaughnessy（1986）、Monaghan（2000）、謝貞秀（民91）的研究結果相符合。

上述三項有關平行四邊形包含關係的迷思概念，研究者在【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊的特例活動中進行診斷教學，後測通過率分別為83.3﹪、83.3﹪、96.7﹪，延後測通過率分別為76.7﹪、76.7﹪、100﹪，都比前測時進步，代表研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念有良好的效果。

此外圖ㄊ非水平擺設的平行四邊形通過率為80﹪，學童有『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念，這與謝貞秀（民91）的研究結果一致。針對學童這項迷思概念，研究者在【活動二】四邊形造圖活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測通過率提升為96.7﹪、延後測為96.7﹪都比前測通過率80﹪要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念有良好的效果。

 

表4-27：平行四邊形前測、後測、延後測的通過率

       圖號

 

通過率

    ㄅ

 

 

   ㄆ

 

   ㄇ

 

 

   ㄈ

     

ㄉ

   ㄊ

前測（﹪）

36.7

96.7

36.7

96.7

46.7

80

後測（﹪）

83.3

93.3

83.3

96.7

76.7

96.7

延後測（﹪）

76.7

93.3

76.7

100

80

96.7

 

 

 

（四）菱形（四邊形概念測驗第4題）

由下面表4-28可知在菱形的圖形辨識上，圖ㄈ水平擺設正方形通過率只有33.3﹪、圖ㄆ倒過來擺設的正方形通過率為63.3﹪，兩者通過率明顯偏低，顯示學童有『認為正方形不是菱形的一種特例』以及『認為水平擺設的正方形不是菱形』的迷思概念，這與謝貞秀（民91）的研究結果一致。

針對學童這2項迷思概念，研究者在【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊的特例活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測圖ㄆ通過率為96.7﹪、延後測為93.3﹪都比前測通過率63.3﹪要高，圖ㄈ後測通過率為93.3﹪、延後測為83.3﹪都比前測通過率33.3﹪要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為正方形不是菱形的一種特例』以及『認為水平擺設的正方形不是菱形』的迷思概念有良好的效果。

 

表4-28：菱形前測、後測、延後測的通過率

       圖號

 

通過率

 

      ㄅ

 

文字方塊:  

     ㄆ

     ㄇ

 

  

  

 

      ㄈ

前測（﹪）

93.3

63.3

93.3

33.3

後測（﹪）

100

96.7

90

93.3

延後測（﹪）

86.7

93.3

96.7

83.3

 

（五）梯形（四邊形概念測驗第5題）

由下面表4-29可知在梯形的圖形辨識上，學童直觀就知道圖ㄈ水平擺設的梯形是梯形，所以圖ㄈ通過率為100﹪，也映証學童心目中梯形的原型是等腰梯形。所以就算將等腰梯形旋轉成非水平擺設如圖ㄇ，通過率仍有93.3﹪。通過率最低是圖ㄅ有直角的梯形，通過率只有56.7﹪，由此可知學童有『認為有直角的梯形就不是梯形』的迷思概念，這與謝貞秀（民91）的研究結果一致。

針對學童出現『認為有直角的梯形就不是梯形』的迷思概念，研究者在【活動二】四邊形造圖活動進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪、延後測為86.7﹪都比前測通過率56.7﹪要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念有良好的效果。

 

表4-29：梯形前測、後測、延後測的通過率

       圖號

 

通過率

 

       ㄅ

 

 

     ㄆ

 

       ㄇ

 

      ㄈ

前測（﹪）

56.7

93.3

93.3

100

後測（﹪）

90

93.3

93.3

96.7

延後測（﹪）

86.7

86.7

93.3

100

 

（六）四邊形（四邊形概念測驗第6題）

由下面表4-30可知在四邊形的圖形辨識上，只有圖ㄅ正方形、圖ㄆ長方形通過率達到90﹪以上，其他梯形、平行四邊形、箏形、不規則四邊形、菱形通過率分別只有70﹪、76.7﹪、70﹪、73.3﹪、76.7﹪。顯示學童在四邊形的圖形辨識上有『認為梯形、菱形、箏形、平行四邊形與不規則四邊形不是四邊形』的迷思概念。這與沈佩芳（民91）的研究結果一致。

針對學童這項迷思概念，研究者在【活動二】四邊形造圖活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測梯形、平行四邊形、箏形、不規則四邊形、菱形通過率分別為86.7﹪、90﹪、86.7﹪、86.7﹪、93.3﹪；延後測分別為93.3﹪、96.7﹪、96.7﹪、93.3﹪、100﹪，都比前測的通過率要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為梯形、菱形、箏形、平行四邊形與不規則四邊形不是四邊形』的迷思概念有良好的效果。

表4-30：四邊形前測、後測、延後測的通過率

       圖號

 

通過率

   ㄅ

 

 

   ㄆ

   ㄇ

 

   ㄈ

 

  ㄉ

 

   ㄊ

 

   ㄋ

前測（﹪）

93.3

90

70

76.7

70

73.3

76.7

後測（﹪）

100

93.3

86.7

90

86.7

86.7

93.3

延後測（﹪）

96.7

93.3

93.3

96.7

96.7

93.3

100

 

 

二、基本性質的分析

（一）四個邊都一樣長（四邊形概念測驗第7題）

由表4-31可知：平行四邊形通過率偏低只有73.3﹪，顯示學童有『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的迷思概念，針對這項迷思概念，研究者在【活動一】四邊形分類活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪、延後測為96.7﹪都比前測要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的迷思概念有良好的效果。

沈佩芳（民91）指出學童對於菱形『四個邊都一樣長』的基本性質不清楚，認為『四個邊都一樣長』不是菱形的基本性質，張英傑（民92）全國抽測通過率也只有59﹪。從上述文獻中，研究者原本預期學童在測驗中會出現『四個邊都一樣長不是菱形基本性質』的迷思概念。然而從表4-31可知菱形通過率有90﹪，研究對象『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』的比例並不高。不過在教學時，學童仍出現『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』的迷思概念，所以研究者還是對這項迷思概念進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測通過率提升為96.7﹪、延後測為93.3﹪都比前測要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』的迷思概念有良好的效果。

 

表4-31：四個邊都一樣長前測、後測、延後測的通過率

       圖形

通過率

正方形

長方形

平行四邊形

菱形

箏形

梯形

前測（﹪）

100

86.7

73.3

90

90

100

後測（﹪）

100

96.7

90

96.7

96.7

100

延後測（﹪）

100

90

96.7

93.3

93.3

93.3

 

（二）四個角都是直角（四邊形概念測驗第8題）

從表4-32可發現知菱形前測通過率最低只有73.3﹪，顯示學童有『認為四個角都是直角是菱形基本性質』的迷思概念。這與沈佩芳（民91）的研究結果一致。

針對學童這項迷思概念，研究者在【活動一】四邊形分類活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測為76.7﹪，延後測為90﹪都比前測要高，然而後測通過率雖有提高，但通過率仍然偏低。因此研究者對後測答錯的學童進一步進行訪談，訪談後發現學童會認為菱形四個角都是直角，主要是研究者為了讓學生瞭解正方形是菱形的一種特例，讓學童運用GSP進行菱形動態模擬時，所有學童皆模擬過倒過來擺設的正方形，也因此有部分學童才會誤認菱形就是倒過來擺的正方形，認為菱形四個角都有90度。舉例如下：

 

09T  ：哪些圖形『四個角都是直角』，你在前測沒選菱形，能不能告訴老師你是怎麼想的？

10S14：我認為菱形是箏形，所以菱形四個角沒有都是直角。        11T  ：那後測為什麼會選菱形？

12S14：菱形就是倒過來的正方形，所以四個角都是直角。

13T  ：你是怎麼知道的？

14S14：GSP模擬菱形時知道的。

 

表4-32：四個角都是直角前測、後測、延後測的通過率

       圖形

通過率

正方形

長方形

平行四邊形

菱形

箏形

梯形

前測（﹪）

96.7

93.3

86.7

73.3

90

93.3

後測（﹪）

96.7

93.3

86.7

76.7

100

96.7

延後測（﹪）

100

90

90

90

93.3

96.7

 

（三）兩雙相對的邊互相平行（四邊形概念測驗第9題）

從表4-33可知菱形的前測通過率最低只有66.7﹪，顯示學童有『認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質』的迷思概念。這與沈佩芳（民91）的研究結果一致。

針對學童這項迷思概念，研究者在【活動一】四邊形分類活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測為90﹪、延後測為96.7﹪都比前測要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質』的迷思概念有良好的效果。

 

 

表4-33：兩雙相對的邊互相平行的通過率

       圖形

通過率

正方形

長方形

平行四邊形

菱形

箏形

梯形

前測（﹪）

86.7

86.7

80

66.7

83.3

90

後測（﹪）

96.7

96.7

86.7

90

93.3

100

延後測（﹪）

96.7

96.7

86.7

96.7

90

93.3

 

（四）只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行（四邊形概念測驗第10題）

從表4-34可知平行四邊形前測通過率最低只有76.7﹪，顯示學童有『認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質』的迷思概念，這與沈佩芳（民91）的研究結果一致。

針對學童這項迷思概念，研究者將在【活動一】四邊形分類活動中進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測通過率為90﹪、延後測為86.7﹪都比前測要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質』的迷思概念有良好的效果。

 

表4-34：『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』

前測、後測、延後測的通過率

       圖形

通過率

正方形

長方形

平行四邊形

菱形

箏形

梯形

前測（﹪）

93.3

93.3

76.7

93.3

90

96.7

後測（﹪）

100

96.7

90

100

90

93.3

延後測（﹪）

96.7

96.7

86.7

96.7

90

93.3

 

（五）只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合（四邊形概念測驗第11題）

從表4-35可知正方形、長方形、菱形通過率都超過80﹪，而﹪，顯示學童有認為『認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質』、『認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質』及『認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質』的迷思概念。

針對學童所出現的三項迷思概念，研究者在【活動一】四邊形分類活動中運用摺紙方式來進行診斷教學。診斷教學後所進行的後測梯形、平行四邊形、箏形通過率分別為70﹪、80﹪、86.7﹪，延後測為73.3﹪、76.7﹪、90﹪都比前測要高。雖然後測的通過率皆有進步，但梯形、平行四邊形通過率70﹪、80﹪比起箏形86.7﹪相對偏低。研究者進一步訪談學生後發現，主要原因可能是學童將於『對角線』還是不清楚，舉例如下：

 

11T  ：你前測、後測都有選梯形，能不能說說你是怎麼想的

12S12：老師，因為梯形左右能疊合、上下不能疊合、所以選梯形。

13T  ：能不能畫一個梯形給老師看？

14S12：學生運用工具畫出等腰梯形。

15T  ：能不能告訴老師這個梯形的對角線在哪裡？

16S12：在這裡。（學童用手指出兩條線，如右圖）

     

                                                           

 

07T  ：你前測、後測都有選平行四邊形，能不能說說你是怎麼想的？

08S23：老師，很簡單平行四邊形有一邊能疊合，另一邊不能疊合。

09T  ：能不能畫一個平行四邊形給老師看？

10S23：(運用直尺在點狀紙上畫出平行四邊形)。

11T  ：能不能畫出這個平行四邊形的對角線？

12S23：在這裡。（學童畫出甲、乙兩條線，如右圖）

13T  ：哪一條對角線能使兩邊互相疊合？     乙

14S23：這一條。（用手指著甲線）                    

                                        甲

 

 

 

 

表4-35：『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』前測、後測、延後測的通過率

       圖形

通過率

正方形

長方形

平行四邊形

菱形

箏形

梯形

前測（﹪）

86.7

90

73.3

83.3

76.7

46.7

後測（﹪）

96.7

96.7

80

86.7

86.7

70

延後測（﹪）

100

100

76.7

86.7

90

73.3

 

 

三、包含關係的分析

 

四邊形概念測驗12∼18題是測驗學童是否了解四邊形中長方形、菱形、平行四邊形的包含關係，研究者將各題的通過率整理在表4-36，由表4-36可知『正方形是長方形的一種嗎？』通過率最低，只有33.3﹪，顯示學童有『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思概念，這與林軍治（民81）的研究結果一致。

Oberdorf & Taylor-Cox(1999)提出其所觀察到學生有關幾何方面的迷思概念，發現學童的迷思概念有可能受到日常生活用語的混淆。研究者認為學童有『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思概念，有可能就是受到日常生活用語的混淆。學者張英傑（民90）就指出學生會以詞含義，認為長方形一定是長長的，所以不認為正方形是長方形。

『正方形是菱形的一種嗎？』、『菱形是平行四邊形的一種嗎？』、『正方形是平行四邊形的一種嗎？』以及『長方形是平行四邊形的一種嗎？』能夠選對的通過率依序分別只有73.3﹪、66.7﹪、60﹪、56.7﹪，通過率都不到8成。能夠寫出正確理由的通過率更低分別只有26.7﹪、33.3﹪、40﹪、36.7﹪，這顯示有些學生雖知道圖形間的包含關係，但無法寫出正確的理由。在前面圖形辨識各項通過率依序也只有26.7﹪、46.7﹪、36.7﹪、36.7﹪，由此顯示學童有『認為正方形不是菱形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念。此外，『箏形是菱形的一種嗎？』與『梯形是平行四邊形的一種嗎？』學童通過率都分別為90﹪、93.3﹪，這與前面圖形辨識93.3﹪、86.7﹪的通過率相符合 ，學童通過率都有八成以上，學童沒有『認為箏形是菱形的一種』、『認為梯形是平行四邊形的一種』的迷思概念。

綜合上述，學童在包含關係上有『認為正方形不是長方形一種特例』、『認為正方形不是菱形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』五項迷思概念。

針對學童這五項迷思概念，研究者在【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊的特例活動中運用GSP進行診斷教學。『認為正方形不是長方形一種特例』後測能夠選對和理由正確的通過率分別為90﹪、83.3﹪，延後測通過率為90﹪、83.3﹪都比前測通過率33.3﹪、26.7﹪要高，由此可知研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為正方形不是長方形一種特例』的迷思概念有良好的效果。

另外四項迷思概念：『認為正方形不是菱形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』也一樣，不論後測、延後測能夠選對和理由正確的通過率都比前測時要高，研究者所設計的診斷教學活動對於澄清『認為正方形不是菱形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念都有良好的效果。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

表4-36：包含關係前測、後測、延後測的通過率（﹪）

題

號

題目

通過率

前測

後測

延後測

能

夠

選

對

理

由

正

確

能

夠

選

對

理

由

正

確

能

夠

選

對

理

由

正

確

12

正方形是長方形的一種嗎？

33.3

26.7

90

83.3

86.7

63.3

13

正方形是菱形的一種嗎？

73.3

26.7

96.7

63.3

80

56.7

14

箏形是菱形的一種嗎？

90

90

90

90

96.7

96.7

15

菱形是平行四邊形的一種嗎？

66.7

33.3

86.7

70

76.7

76.7

16

正方形是平行四邊形的一種嗎？

60

40

90

80

86.7

80

17

長方形是平行四邊形的一種嗎？

56.7

36.7

90

76.7

90

76.7

18

梯形是平行四邊形的一種嗎？

86.7

86.7

93.3

93.3

90

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二節 四邊形診斷教學之設計模式與實施歷程

 

研究者透過三個教學活動，總共六節課的時間，進行六年級四邊形迷思概念的診斷教學。研究者診斷教學設計的模式，首先先診斷出學生的迷思概念，接著與學生舊有的學習經驗相連結，最後製造認知衝突來澄清學童的迷思概念。

診斷教學過程中涉及到的迷思概念包括四邊形的圖形辨識、基本性質和包含關係三個部分。針對上述三點，研究者運用蒐集到的資料，包括學生前、後、延後測的表現、教學原案的轉錄、四邊形基本學習單、造圖結果及訪談紀錄來進行四邊形診斷教學實踐歷程與學童在診斷教學後認知調整情形的探討。

 

壹、  圖形辨識

由文獻中所預期學生會出現的迷思概念及學生在四邊形概念測驗前測時所出現的四邊形迷思概念，在圖形辨識的部分共計有下列五項：

一、   認為『沒有成水平擺設的的正方形』是菱形不是正方形。

二、   認為『沒有成水平擺設的平行四邊形』不是平行四邊形。

三、   認為『有直角的梯形』就不是梯形。

四、   認為『平行四邊形、梯形、菱形、箏形、不規則的四邊形』不是四邊形。

五、   認為『水平擺設的正方形』不是菱形。

前四項學童出現的迷思概念，研究者運用四邊形造圖活動來澄清，第五項迷思概念研究者運用GSP電腦動態模擬菱形時來澄清，以下是研究者對這五項迷思概念的診斷教學歷程以及診斷教學後學童認知調整情形的探討。

 

一、『認為沒有成水平擺設的正方形是菱形不是正方形』的診斷教學過程

 

（一）診斷迷思概念

研究者將學童的造圖結果     ，詢問學生這圖形是不是正方形的過程中，學生呈現出 『認為沒有成水平擺設的正方形不是正方形』的迷思想法，舉例如下：

 

2103T  ：有同學畫出這個圖形          是什麼圖形？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2104SS ：菱形、正方形。

2105T  ：是不是正方形？

2106SS ：是。

2107SS ：不是。（學童出現迷思想法）

 

（二）與學生以前的學習經驗相連結

澄清學生的迷思想法前，研究者先運用長方形來與學生以前的學習經驗相連結，使學生了解圖形的名稱不會隨方位的不同而改變。舉例如下：

2108T  ：長方形造圖結果中有這個圖形          它是長方形嗎？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2109SS ：是。

2110T  ：為什麼？

2111SS ：因為四個角都是直角。

2112T  ：四個角都是直角的圖形就是長方形，對不對？

2113SS ：對。

2114T  ：學習單中還有               的圖形，這些圖形與前面水平擺設的長方形不同，它們是長方形嗎？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2115SS ：是。

2116T  ：誰能說說看為什麼？

2117S26：因為他們四個角也都是直角，只要四個角都是直角的圖形就是長方形。

2118T  ：圖形的性質會不會隨方位不同改變？

2119SS ：不會。

2120T  ：所以圖形的名稱會不會隨方位不同改變？

2121SS ：不會。

 

 

（三）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者將倒轉過來的正方形轉成水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突，舉例如下：

2122T  ：S21，你說這個圖形不是正方形的一種，所以這個圖形不論擺成任何方位，都不是正方形，對不對？

2123S21：對。

2124T  ：好，(老師將這個圖形轉成水平擺設)         那這樣的圖形是不是正方形？

2125S21：是。

2126T  ：那這樣           呢？(老師又將這個圖形倒過來擺設)

2127S21：是。（認知調整）

2128T  ：剛剛不是，現在為什麼是？

2129S21：圖形的名稱不會隨方位不同改變。

 

（四）學生認知調整的情況

1.四邊形概念測驗第（1）題選項ㄅ    是不是正方形，在前測通過率為80﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為100﹪，延後測為100﹪。

2.研究者對四邊形概念測驗前測第（1）題選項ㄅ答錯的學童進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

01T ：你在前測沒選ㄅ，後測為何選ㄅ？（老師手指選項ㄅ    ）

       02S05：因為它有四個邊一樣長、四個角都是直角。

       03T  ：你是怎麼知道的？

       04S05：把圖轉過來就知道了。（手將圖轉成水平擺設）

       05T  ：你怎麼知道要將圖轉過來看？

       06S05：在造圖活動中老師就有轉過來給我們看過。

 

3.在教學前請30位學生盡量畫出不同的正方形，畫出非水平擺設正方形的同學有10位。診斷教學後讓學生再造圖，能夠畫非水平擺設正方形的學童提升為23位學童。

二、『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的診斷教學過程

 

（一）診斷迷思概念

研究者以學童的造圖結果    ，詢問學生這個圖形是不是平行四邊形的過程中，學生呈現 『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思想法，舉例如下：

 

2130T  ：有同學畫出這個圖形是不是平行四邊形    ？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2131SS ：是。

2132SS ：不是。（呈現迷思想法）

 

（二）與學生以前的學習經驗相連結

在澄清『認為沒有成水平擺設的的正方形是菱形不是正方形』的迷思想法時，研究者已經運用長方形來與學生以前的學習經驗相連結，讓學生知道圖形的名稱不會隨方位不同改變。

 

（三）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者將倒轉過來的平行四邊形轉成水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突，舉例如下：

 

2133T  ：你說這個圖形不是平行四邊形的一種，所以這個圖形不論擺成任何方位，都不是平行四邊形，對不對？

2134S10：對。

2135T  ：好，老師將這個圖形轉成水平擺設          ，這樣是不是平行四邊形？

2136S10：是。

2137T  ：那這樣      呢？

2138S10：是。（認知調整）

2139T  ：剛剛不是，現在為什麼是？

2140S10：圖形名稱不會隨方位改變。

（四）學生認知調整的情況

1.四邊形概念測驗第（3）題選項ㄊ    是不是平行四邊形，前測的通過率為80﹪。在診斷教學後所進行的後測通過率提升為96.7﹪，延後測為96.7﹪。

2.研究者對四邊形概念測驗前測第（3）題選項ㄊ答錯的學生進行訪談，由訪談結果可知，研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

   

05T  ：你在前測沒選ㄊ，後測為何選ㄊ？（老師用手指選項ㄊ     ）

       06S14：後來我把它反過來就知道。（手將圖形轉成水平擺設）

       07T  ：你怎麼知道要將圖反過來？

       08S14：在造圖活動中老師有講過。

 

3.在教學前請30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能畫出非水平擺設的平行四邊形同學只有14位。診斷教學後讓學生再造圖，能夠畫非水平擺設平行四邊形的學童提升為22位學童。

 

三、『認為有直角的梯形就不是梯形』的診斷教學過程

 

（一）診斷迷思概念

研究者將學童的造圖結果         ，詢問學生這圖形是不是梯形的過程中，學生呈現出 『認為有直角的梯形不是梯形』的迷思想法，舉例如下：

2141T  ：有同學畫出這個有直角的圖形             ，是不是梯形？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）   

2142SS ：是。

2143SS ：不是。（學童出現迷思想法）

 

（二）與學生以前的學習經驗相連結

在【活動一】四邊形分類活動時，學童曾透過將兩條邊往兩側延長是否會相交於一點的方式，驗證梯形是只有一雙相對的邊互相平行，另一雙相對的邊不平行的圖形。研究者在製造認知衝突前，先複習學生這項先備經驗：

2144T  ：在分類活動時，我們說有什麼性質的圖形是梯形？

2145S27：只有一雙相對的邊互相平行，另一雙相對的邊不平行的圖形就是梯形。

2146T  ：所以梯形會有幾雙相對的邊延長後會相交於一點？

2147SS ：一雙。

 

（三）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用將圖形兩雙對邊往兩側延長的方式，來讓學生產生認知衝突，舉例如下：

 

2148T  ：S30，你說這個圖形不是梯形，所以將這圖形兩雙相對的邊延長後，會不會只有一雙相對的邊延長後相交於一點？

2149SS ：不會。

2150T  ：好，現將老師這個圖形兩雙相對的邊向兩側延長，大家看會不會只有一雙相對的邊延長後相交於一點？

2151T  ：（在實物投影機下將圖形兩雙相對的邊往外延長。）

2152T  ：好，S30，請告訴大家這圖形相對的邊延長後有沒有相交於一點？

2153SS ：有。

2154T  ：有幾雙？

2155S30：一雙。

2156T  ：那這圖形是不是梯形？

2157S30：是。（認知調整）

2158T  ：剛剛說不是，現在為何說是？

2159S30：因為它只有一雙相對的邊互相平行。

 

（四）學生認知調整的情況

1.四邊形概念測驗第（5）題選項ㄅ        是不是平行四邊形，在前測通過率只有56.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為86.7﹪。

2.研究者對四邊形概念測驗第（5）題選項ㄅ        前測答錯的學生進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

    05T  ：你說梯形左右一樣長、上下不一樣長，為什麼你會這麼敘述梯形？

       06S13：我認為這樣的圖形才是梯形。（手指選項ㄈ      ）

       07T  ：在前測沒選ㄅ，後測為何選ㄅ？

       08S13：上完課才知道，梯形會有90度。

       09T  ：你回答這個問題，想到哪些上課的活動？

       10S13：我想到可以將圖形的邊往兩邊延長，梯形有一雙會相交於一點，另一雙不會相交於一點。

 

3.在教學前請30位學生盡量畫出不同的梯形，能畫出有直角的梯形只有20位。診斷教學後再讓學生造圖，能畫出有直角的梯形提升為28位。

 

四、『認為平行四邊形、梯形、菱形、箏形、不規則四邊形不是四邊形』的診斷教學過程

 

（一）與學生以前的學習經驗相連結

在澄清學童的迷思想法前，研究者先以正方形及長方形與學生的舊經驗相連結，讓學生知道有四個邊、四個頂點、四個角的圖形就是四邊形。舉例如下：

 

2026T  ：在四邊形的造圖結果中，有同學畫正方形、長方形，它們是四邊形嗎？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2027SS ：是。

2028T  ：為什麼？

2029SS ：因為他們都有四個邊、四個頂點、四個角。

2030T  ：誰能說明這兩個圖形的四個邊、四個頂點、四個角在哪？

2031SS ：舉手。

2032T  ：S4，請你說明給大家看。

2033S04：這是正方形的四個邊、四個頂點、四個角。這是長方形的四個邊、四個頂點、四個角。（學童正確用手指著圖形進行說明）

2034T  ：所以有四個邊、四個頂點、四個角的圖形就是四邊形。對不對？

2035SS ：對。

（二）診斷迷思概念

研究者拿出箏形，詢問學生這圖形是不是四邊形的過程中，學生出現『箏形不是四邊形』的迷思想法，舉例如下：

2036T  ：有同學畫出箏形，這算是四邊形的一種嗎？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2037SS ：是。

2038SS ：不是。（學童出現迷思想法）

 

（三）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用讓學童尋找箏形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來讓學生產生認知衝突，舉例如下：

 

2039T  ：S09，你說箏形不是四邊形的一種，所以箏形沒有四個邊、四個頂點、四個角，對不對？

2040S09：對。

2041T  ：大家一起找找看箏形有沒有四個邊？

2042SS ：有。

2043T  ：S23，請你指出箏形的四個邊在哪裡？

2044S23：（指出箏形的四個邊）

2045T  ：有沒有四個頂點？在哪裡？

2046SS ：有。

2047S23：（指出箏形的四個頂點）

2048T  ：有沒有四個角？在哪裡？

2049SS ：有。

2050S23：（指出箏形的四個角）

2051T  ：S09，這樣箏形不是四邊形的一種，對不對？

2052S09：不對。

2053T  ：為什麼不對？

2054S09：箏形有四個邊、四個頂點、四個角，所以是四邊形。（認知調整）

 

（四）學生認知調整的情況

1.   進行完『認為箏形不是四邊形』的診斷教學後，研究者繼續拿出學童所畫的平行四邊形、梯形、菱形和不規則四邊形想依照箏形時的方式來進行診斷教學。但有迷思的學童經過箏形的診斷教學後，就能調整，知道只要有四個邊、四個頂點、四個角的圖形就是四邊形，所以後面的教學過程中，學童都沒有出現迷思概念。因此研究者的教學策略調整為確認在前測有迷思的學童是否真的成功調整認知？所以在每個圖形研究者都找出前測有迷思概念的學童來回答問題，結果發現學童都能成功的調整認知。以下就以菱形為例來進行教學上的說明：

 

2067T  ：有同學畫出菱形，這算是四邊形的一種嗎？（老師以實物投影機呈現學童的造圖結果）

2068SS ：是。（全班皆說是）

2069T  ：S5，你說菱形是四邊形的一種，你怎麼知道的？（S5為前測有迷思的學童）

2070S05：菱形有四個邊、四個頂點、四個角。（已經調整認知）

2071T  ：請你指出菱形的四個邊在哪裡？

2072S05：（指出菱形的四個邊）

2073T  ：四個頂點在哪裡？

2074S05：（指出菱形的四個頂點）

2075T  ：四個角在哪裡？

2076S05：（指出菱形的四個角）

2077T  ：菱形有四個邊、四個頂點、四個角，所以是不是四邊形？

2078SS ：是。

 

2.四邊形概念測驗第（5）題選項ㄇ     是不是四邊形，前測通過率為70﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升到86.7﹪，延後測為93.3﹪。選項ㄈ       是不是四邊形，前測通過率為76.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升到90﹪，延後測為96.7﹪。選項ㄉ  是不是四邊形，前測通過率只有70﹪，在診斷教學後所進行的後測通過率提升到86.7﹪，延後測為96.7﹪；選項ㄊ      是不是四邊形，在前測通過率為73.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升到86.7﹪，延後測為93.3﹪。；選項ㄋ    是不是四邊形，前測通過率為76.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升到93.3﹪，延後測為100﹪。

 

3.研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知，研究者所設計的診斷教學活動能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

01T  ：前測沒選ㄈ、ㄉ、ㄊ，後測為何會選了ㄈ、ㄉ、ㄊ？

   02S22：因為他們有四個邊、四個角、四個頂點。

   03T  ：你是怎麼知道的？

   04S22：在上課的時候知道。

   05T  ：你回答這個問題時，想到哪些上課的內容？

   06S22：老師要我們找出圖形的四個頂點、四個邊、四個角。

07T  ：你能不能指給老師看圖ㄈ、ㄉ、ㄊ四個頂點在哪裡？

08S22：（用手指著圖ㄈ、ㄉ、ㄊ四個頂點說明，指的都正確）。

09T  ：你能不能指給老師看ㄈ、ㄉ、ㄊ四個邊在哪裡？

10S22：（用手指著圖ㄈ、ㄉ、ㄊ的四個邊說明，指的都正確）。

11T  ：你能不能指給老師看ㄈ、ㄉ、ㄊ四個角在哪裡？

12S22：（用手指著圖ㄈ、ㄉ、ㄊ的四個角說明，指的都正確）。

                                                                   

   05T  ：前測你選ㄅ     、ㄆ       ，你是怎麼想的？

   06S24：我原本想四邊形要有四個直角。

   07T  ：後測你全部都選，你是怎麼想的？

   08S24：因為它們都有四個頂點、四個邊、四個角。

   09T  ：你回答這個問題時，想到哪些上課的內容？

   10S24：在造圖活動時，有找出圖形的四個邊、四個頂點、四個角，所以

我才知道。

 

4.在教學前請30位學生盡量畫出不同的四邊形，能畫出平行四邊形的同學有23位，診斷教學後能畫出平行四邊形的學童提升為27位。教學前能畫出梯形的同學有27位，診斷教學後能畫出梯形的學童提升為30位。教學前能畫出菱形的同學有24位，診斷教學後提升為28位。教學前能夠畫出不規則四邊形的同學有17位，診斷教學能畫出不規則四邊形的學童提升為24位。教學前能夠畫出箏形的同學有17位，診斷教學後能畫出箏形的學童提升為23位。

 

五、『認為水平擺設的正方形不是菱形』的診斷教學過程

（一）診斷迷思概念

研究者讓學生運用GSP電腦動態模擬菱形的過程中，學生呈現出 『認為水平擺設的正方形不是菱形』的迷思想法，舉例如下：

 

3079T  ：在各位的電腦上，出現都是倒過來擺的正方形      ，只有倒過來擺的正方形是菱形，水平擺設的正方形       就不是菱形，對不對？

3080SS ：對。

3081SS ：不對。

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者讓學童在GSP電腦動態模擬菱形的過程中，能夠模擬出水平擺設正方形的方式製造學童的認知衝突來澄清學童的迷思概念，舉例如下：

3082T  ：若水平擺設的正方形是菱形，在菱形動態模擬中會不會出現水平擺設的正方形？

3083SS ：會。

3084T  ：若水平擺設的正方形不是菱形，在菱形動態模擬中會不會出現水平擺設的正方形？

3085SS ：不會。

3086T  ：好！就以剛剛的例子，大家一起來試試看，菱形的動態模擬中會不會出現邊長都是4.6公分，角度都是90度水平擺設的正方形？

3087SS ：會，老師我操作出來了。（如圖5，老師確認每位學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3088T  ：這樣水平擺設正方形是不是菱形的一種？

3089SS ：是。

3090T  ：為什麼？

3091SS ：它四個邊都一樣長，所以也算是菱形的一種。

圖5：動態模擬菱形特例-水平擺設正方形

 

（三）學生認知調整的情況

1.四邊形概念測驗第（4）題選項ㄈ    是不是正方形，在前測通過率為33.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為93.3﹪，延後測為83.3﹪。

2.研究者對四邊形概念測驗前測第（4）題選項ㄈ答錯的學童進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

      03T  ：你在前測沒選ㄈ，後測為何選ㄈ？（老師手指選項ㄈ    ）

       04S34：因為它四個邊一樣長所以是菱形的一種。

       05T  ：你是怎麼知道的？

       06S34：電腦GSP有模擬過。

    

3.在教學前請30位學生盡量畫出不同的菱形，能畫出水平擺設正方形的同學有2位。診斷教學後讓學生再造圖，能夠畫非水平擺設正方形的學童提升為15位學童。

 

    研究者在診斷教學中，診斷出來的迷思概念有關圖形辨識的部分共有五項，研究者將這五項迷思概念，診斷教學中所運用認知衝突的方式以及學童在教學後認知調整的情形，整理成表4-37，分析如下：

 

 

 

 

表4-37：圖形辨識的診斷教學活動整理表

 

診斷出的

迷思概念

認知衝突

的方式

學生認知調整的情況

認為沒有成水平擺設的正方形是菱形不是正方形

將倒轉過來的正方形轉成水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突

1.   四邊形概念測驗通過率前測80﹪、後測100﹪、延後測100﹪。

2.   教學前能畫出非水平擺設正方形的學童有10位。診斷教學後能夠畫非水平擺設正方形的學童提升為23位。

認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形

將倒轉過來的平行四邊形轉成水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突

1.   四邊形概念測驗通過率前測80﹪、後測96.7﹪、延後測96.7﹪。

2.   教學前能畫出非水平擺設的平行四邊形學童只有14位。診斷教學後能夠畫非水平擺設平行四邊形的學童提升為22位。

認為有直角的梯形就不是梯形

運用將梯形兩雙對邊往兩側延長的方式，來讓學生產生認知衝突

1.   四邊形概念測驗通過率前測56.7﹪、後測90﹪、延後測86.7﹪。

2.   教學前能畫出有直角梯形的學童只有20位。診斷教學後能夠畫出有直角梯形的學童提升為28位。

認為水平擺設的正方形不是菱形

讓學童在菱形GSP電腦動態模擬的過程中，能模擬出水平擺設正方形的方式來製造學生的認知衝突

1.   四邊形概念測驗前測通過率33.3﹪，後測93.3﹪，延後測83.3﹪。

2.   教學前能畫出水平擺設正方形的同學只有2位。教學後讓學生再造圖，能夠畫出非水平擺設正方形的學童提升為15位學童。

 

 

 

認為平行四邊形、梯形、菱形、箏形、不規則四邊形不是四邊形

運用讓學童尋找平行四邊形、梯形、菱形、箏形、不規則四邊形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來讓學生產生認知衝突。

1.   四邊形概念測驗通過率：平行四邊形前測80﹪、後測90﹪、延後測96.7﹪；梯形前測70﹪，後測86.7﹪，延後測93.3﹪；菱形前測76.7﹪、後測93.3﹪、延後測96.7﹪；箏形前測70﹪、後測86.7﹪、延後測96.7﹪。不規則四邊形前測73.3﹪、後測86.7﹪、延後測93.3﹪。

2.   教學前能畫出平行四邊形、梯形、菱形、不規則四邊形、箏形的學童分別有23、27、24、17、17位，教學後能畫出平行四邊形、梯形、菱形、不規則四邊形、箏形的學童分別提升為27、30、28、24、23位

表4-37：圖形辨識的診斷教學活動整理表（續頁81）

 

 

貳、基本性質

 

由文獻中所預期學生會出現的迷思概念及學生在四邊形概念測驗前測時出現的迷思概念，在基本性質的部分，共計有下列八項：

一、   認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質。

二、   認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質。

三、   認為四個角都是直角是菱形基本性質。

四、   認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質。

五、   認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質。

六、   認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質。

七、   認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質。

八、   認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質。

    學童在基本性質上所出現的八項迷思概念，研究者設計四邊形分類活動來澄清。研究者將這八項迷思概念的診斷教學歷程以及診斷教學後學童認知調整情形分成下列五點來進行探討，分析如下：

 

一、『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』、『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的診斷教學過程

 

（一）診斷迷思概念

在進行以『四個邊一樣長』來分類的活動過程中，學生出現 『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』、『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的迷思想法，舉例如下：

 

1005T  ：請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將四個邊有一樣長的圖形放白板左邊，四個邊沒有一樣長的圖形放白板右邊。

1006SS ：進行分類活動。

1007T  ：好，大家都完成了。請各位同學展示分類的結果。

1008T  ：（將學生不同的分類結果展示在黑板）

S09：             S11：              S02：           S07：

正方形      長方形    正方形  長方形    正方形  長方形    正方形    長方形

菱形        梯形              梯形        菱形  梯形   平行四邊形   梯形  平行四邊形  箏形 平行四邊形  箏形               箏形         菱形   箏形

                             菱形               平行四邊形

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者先以梯形及正方形引導出要知道圖形的四個邊是否一樣長，可以運用直尺來測量。接著再讓學生以直尺實際測量菱形、平行四邊形的四個邊來產生認知衝突，舉例如下：

1009T  ：黑板上梯形都放在右邊，所以梯形四個邊沒有一樣長，對不對？

1010SS ：對。

1011T  ：好，你們怎麼知道梯形四個邊都一樣長？能不能用圖形單來說明？

1012S34：圖6是梯形，一看就知道四個邊不一樣長。

1013T  ：很好，用看的就知道。

1014T  ：那正方形都放在左邊，也就是正方形四個邊都一樣長，大家同不同意？

1015SS ：同意。

1016T  ：你們怎麼知道正方形四個邊都一樣長？

1017SS ：看就知道。

1018T  ：好厲害，看就知道。

1019T  ：還有沒有其他的方法？

1020SS ：可以拿尺來量量看。

1021T  ：圖形單中那個圖是正方形？

1022SS ：圖2。

1023T  ：好，大家拿尺量量看，正方形的四個邊是幾公分?有沒有一樣長？

1024SS ：老師，四個邊都一樣長，每邊都是10公分。

1025T  ：很棒。老師看到菱形有放在左邊、也有放在右邊，菱形四個邊有沒有一樣長？

1026SS ：有。

1027SS ：沒有。（呈現迷思想法）

1028T  ：好，圖形單中那個圖是菱形？

1029SS ：圖5。

1030T  ：S11，你說菱形四個邊沒有一樣長，所以用尺去量菱形的四個邊會不會一樣長？

1031S11：不會。

1032T  ：好，大家拿尺量量看菱形的四個邊是多少公分？

1033T  ：S11，請你告訴大家測量的結果。

1034S11：菱形每個邊都是10公分。

1035T  ：所以菱形沒有四個邊一樣長對不對？

1036S11：不對。

                                                                           

1037T  ：老師看到平行四邊形有放在左邊、也有放在右邊，平行四邊形到底四個邊有沒有一樣長？

1038SS ：有。（呈現迷思想法）

1039SS ：沒有。

1040T  ：好，老師給你們的圖形單中有沒有平行四邊形？

1041SS ：有。

1042T  ：是那個圖？。

1043SS ：圖4。

1044T  ：好，S09：你說平行四邊形四個邊有一樣長，所以用尺去量平行四邊形的四個邊會不會一樣長？

1045S09：會。

1046T  ：好，大家拿尺量量看平行四邊形的四個邊是多少公分。

1047T  ：S09，請你告訴大家測量的結果。

1048S09：平行四邊形有兩條邊是12公分、有兩條邊是5公分

1049T  ：平行四邊形的四個邊都一樣長對不對？

1050S09：不對。

 

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（7）題哪些圖形『四個邊都一樣長』？平行四邊形在前測通過率為73.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升到90﹪，延後測為96.7﹪。菱形前測通過率為90﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升到96.7﹪，延後測為93.3﹪。

2.   研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

     11T  ：哪些圖形『四個邊都一樣長』，你在前測有選平行四邊形，能不能告訴老師你是怎麼想的？

        12S13：因為我想平行四邊形也是正方形的一種，所以就選了。

        13T  ：哪些圖形『四個邊都一樣長』，你在前測沒有選菱形，能不能告訴老師你是怎麼想的？

    14S13：我把菱形和箏形搞錯了，把菱形想成是箏形。

        15T  ：為什麼前測你有選平行四邊形，後測沒選平行四邊形？

        16S13：因為平行四邊形四個邊沒有一樣長。

        17T  ：你是怎麼知道的？

        18S13：在分類活動時，我有量過平行四邊形的邊，知道它們四個邊不一樣長。

19T  ：前測你沒有選菱形，後測為何又選了菱形？

        20S13：菱形四個邊有一樣長。

        21T  ：你是怎麼知道的？

        22S13：在分類活動時，我有量過菱形四個邊，知道菱形四個邊都一樣長。

 

3.   一開始上課所填寫的基本性質學習單，有4位學童認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質，診斷教學後讓學童重填一次學習單，4位學童中有3位能進行認知調整認為四個邊都一樣長是菱形基本性質。在平行四邊形方面，也有9位學童一開始填基本性質學習單認為四個邊都一樣長是平行四邊形的基本性質，診斷教學後讓學童重填一次學習單，9位學童有6位能調整認知認為四個邊都一樣長不是平行四邊形基本性質。

 

二、『認為四個角都是直角是菱形基本性質』的診斷教學過程

 

（一）診斷迷思概念

在進行哪些圖形四個角都是直角分類活動的過程中，學生呈現出『認為四個角都是直角是菱形基本性質』的迷思想法，舉例如下：

 

1051T  ：現在請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將四個角都是直角的圖形放白板左邊，不是四個角都是直角的圖形放白板右邊。

1052SS ：進行分類活動。

1053T  ：好，大家都完成了。請各位同學展示自己分類的結果。

1054T  ：（將學生不同的分類結果展示在黑板）

S14：             S13：              S03：           S10：

正方形  平行四邊形   正方形  菱形     正方形 箏形       正方形  平行四邊形

菱形    梯形         長方形  梯形      菱形  梯形       長方形  梯形 

長方形  箏形                 箏形     長方形 平行四邊形   菱形  箏形

                             平行四邊形

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用正方形引導出要知道圖形的四個角是否為直角可運用量角器來測量，接著再讓學生透過量角器實際測量菱形的四個角來產生認知衝突，舉例如下：

 

1055T  ：黑板上正方形都在左邊，也就是正方形四個角都是直角，大家同不同意？

1056SS ：同意。

1057T  ：你們怎麼知道正方形四個角都是直角？

1058SS ：看就知道。

1059T  ：好厲害，一看就知道。

1060T  ：直角是幾度？

1061SS ：90度

1062T  ：有什麼方法能知道角度是幾度？

1063SS ：用量角器量就知道。

1064T  ：好，大家拿量角器量量看，正方形四個角是幾度？四個角是不是都是直角？

1065SS ：四個角都是90度，正方形四個角都是直角。

1066T  ：很棒。

1067T  ：老師看到菱形有放在左邊、也有放在右邊，菱形是不是四個角都是直角？

1068SS ：是。

1069SS ：不是。（學童出現迷思想法）

1070T  ：好，S10，你說菱形四個角都是直角，所以用量角器去量菱形的四個角都應該是都多少度？

1071S10：90度。

1072T  ：好，大家量量看菱形的四個角是幾度？

1073T  ：S10，請你告訴同學測量的結果。

1074S10：菱形的角有140、40度、140度、40度。

1075T  ：菱形四個角都是直角對不對？

1076S10：不對。

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（8）題哪些圖形『四個角都是直角』？菱形在前測通過率為73.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為76.7﹪，延後測為90﹪。

2.   研究者對四邊形概念測驗第（8）題哪些圖形『四個角都是直角』？答錯的學生進行訪談，由訪談結果可知，研究者所設計的診斷教學活動能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

       07T  ：哪些圖形『四個角都是直角』，你在前測選了菱形，能不能告訴老師你是怎麼想的？

    08S30：我覺得菱形是正方形倒過來，所以菱形四個角都是直角。

        09T  ：那後測為什麼不選菱形？

        10S30：上課後我發現菱形不是四個角都是直角。

        11T  ：你回答這個問題時，有想到哪些上課的內容？

        12S30：分類活動的時候，老師讓我們用量角器去量菱形的四個角，量完後我就知道菱形四個角不是全都是直角。

 

3.   一開始上課填寫基本性質學習單，有7位學童認為菱形四個角都是直角，在診斷教學後重填學習單，這7位學童有5位能調整認知認為四個角都是直角不是菱形的基本性質。

 

三、『認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質』的診斷教學過程

（一）診斷迷思概念

在進行哪些圖形是兩雙相對的邊互相平行的分類活動時，學生出現『認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質』的迷思想法，舉例如下：

1077T  ：現在請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將兩雙相對的邊互相平行的圖形放白板左邊，不是兩雙相對的邊互相平行的圖形放右邊。

1078SS ：進行分類活動。

1079T  ：好，大家都完成了。請各位同學展示自己分類的結果。

1080T  ：（將學生不同的分類結果展示在黑板）

S04：             S23：          S31：            S06：

正方形 菱形    正方形           正方形 箏形     正方形  菱形

平行四邊形  梯形     長方形  梯形       菱形 梯形     長方形  梯形 

長方形  箏形     菱形    箏形     長方形      平行四邊形  箏形

                 平行四邊形       平行四邊形   

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者先運用箏形引導出可將邊往兩側延長，看是否會相交於一點的方式，來判斷圖形相對的邊是否互相平行。接著讓學生實際將菱形的兩雙對邊往兩側延長，看是否會相交於一點來產生認知衝突，舉例如下：

 

1081T  ：黑板上箏形都放在右邊，也就是箏形兩雙相對的邊沒有互相平行，大家同不同意？

1082SS ：同意。

1083T  ：你們怎麼知道箏形兩雙相對的邊沒有互相平行？

1084SS ：看就知道。

1085T  ：圖形單中那個圖是箏形？

1086SS ：圖3。

1087T  ：有沒有人知道箏形兩雙相對的邊是指哪兩雙？

1088S26：i和k、j和l。

1089T  ：除了用看的，還有什麼方法能知道i和k、j和l有沒有互相平行？

1090S08：用畫的。

1091T  ：怎麼畫？

1092S08：兩條線若互相平行，延長後不會相交於一點。兩條線若沒有互相平行，向兩邊延長會相交於一點。

1093T  ：大家同不同意？

1094S08：同意。

1095T  ：好，大家拿出鉛筆畫畫看，i和k、j和l向兩邊延長會不會相交於一點？

1096SS ：會。

1097T  ：好，所以箏形兩雙相對的邊有沒有互相平行？

1098SS ：沒有。

1099T  ：黑板上，菱形有放在左邊、也有放在右邊，菱形是不是兩雙相對的邊互相平行的圖形？

1100SS ：是。

1101SS ：不是。（學童出現迷思想法）

1102T  ：菱形兩雙相對的邊是指哪兩雙？

1103SS ：q和s、t和r。

1104T  ：剛剛說兩條線若沒有互相平行，延長後會不會相交於一點？

1105SS ：會。

1106T  ：S04，你說菱形兩雙相對的邊沒有互相平行，所以q和s會相交於一點、t和r也會相交於一點，對不對？

1107SS ：對。

1108T  ：好，大家拿出鉛筆畫畫看，q和r、t和s向兩邊延長會不會相交於一點？

1109SS ：進行畫圖。

1110T  ：S04，請你告訴同學q和r、t和s向兩邊延長會不會相交於一點？。

1111S04：不會。

1112T  ：q和r不會相交於一點，t和s也不會相交於一點，所以q和r、t和s有沒有互相平行？

1113S04：有。

1114T  ：所以菱形不是兩雙相對的邊互相平行的圖形，對不對？

1115S04：不對。

 

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（9）題哪些圖形『兩雙相對的邊互相平行』？菱形的前測通過率為66.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為96.7﹪。

2.   研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知研究者設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

09T  ：哪些圖形『兩雙相對的邊互相平行』，你在前測沒選菱形，能不     能告訴老師你是怎麼想的？

    10S07：三、四年級時，老師有說過正方形、長方形兩雙相對的邊互相平行，但菱形、平行四邊形好像沒說過。

        11T  ：為什麼前測你沒選菱形，後測又選了菱形？

        12S07：菱形兩雙相對的邊延長不會相交於一點，所以互相平行。

        13T  ：你怎麼知道要畫延長線？

        14S07：在上課的時候，就曾經畫過啊。

3.   上課一開始填基本性質學習單，有11位學童認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形的基本性質。診斷教學後學童重填學習單，這11位學童有9位能夠調整認知認為兩雙相對的邊互相平行是菱形基本性質。

 

四、『認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質』的診斷教學過程

（一）診斷迷思概念

在進行哪些圖形兩雙相對的邊互相平行的分類活動時，學生出現『認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質』的迷思想法，舉例如下：

 

1116T  ：現在依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行的圖形放白板左邊，不是的白板右邊。

1117SS ：進行分類活動。

1118T  ：好，大家都完成了。請各位同學展示自己分類的結果。

1119T  ：（將學生不同的分類結果展示在黑板）

S01：             S15：             S22：             S34：

梯形   菱形            長方形            正方形        箏形

平行四邊形   正方形     梯形 正方形      梯形  菱形    梯形  平行四邊形

  箏形           箏形  平行四邊形  長方形        菱形

             長方形          菱形              箏形          正方形

                             平行四邊形                      長方形

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者先以梯形與學生舊經驗相連結，知道『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』的圖形將邊延長後會有一組會相交於一點。接著再讓學生透過將平行四邊形兩雙相對的邊往兩邊延長，來產生認知衝突，舉例如下：

1120T  ：黑板上，梯形都放在左邊，也就是說梯形是只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行，大家同不同意？

1121SS ：同意。

1122T  ：好，能不能告訴老師圖形單中哪一個圖形是梯形？

1123SS ：圖6是梯形。

1124T  ：誰和誰是雙相對的邊？

1125SS ：u和w、v和x是相對的邊。

1126T  ：哪一雙相對的邊是互相平行？哪一雙相對的邊沒有互相平行？

1127S11：v和x互相平行，u和w沒有平行。

1128T  ：你怎麼知道的？

1129S11：u和w向兩邊延長會相交於一點，所以不平行。v和x向兩邊延長不會相交於一點，所以有平行。

1130T  ：所以只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行的圖形是不是會有一雙相對的邊延長後會相交於一點？

1131SS ：是。

1132T  ：平行四邊形有放在左邊、也有放在右邊，平行四邊形是不是只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行？

1133SS ：是。

1134SS ：不是。（學生出現迷思想法）

1135T  ：好，能不能告訴老師圖形單中哪一個圖形是平行四邊形？

1136SS ：圖4

1137T  ：誰和誰是相對的邊？

1138SS ：m和o、n和p是相對的邊。

1139T  ：S34，你說平行四邊形只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行，那m和o、n和p向兩邊延伸，是不是會有一組會相交於一點？

1140S34：是。

1141T  ：好，大家拿出鉛筆畫畫看，將m和o、n和p向兩邊延長，看是不是會有一組會相交於一點？

1142T  ：S34，請你告訴同學你畫的結果。

1143S34：m和o、n和p都不會相交於一點。

1144T  ：所以平行四邊形是不是只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行的圖形？

1145S34：不是。

1146T  ：那平行四邊形是不是兩雙相對的邊互相平行的圖形？

1147S34：是。

 

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（10）題哪些圖形『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』？平行四邊形在前測通過率為76.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為86.7﹪。

2.   研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知，研究者所設計的診斷教學活動能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

   

13T  ：哪些圖形『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』？前測時你有選平行四邊形，為什麼後測沒選平行四邊形？

      14S22：平行四邊形是兩雙相對的邊互相平行，所以不是只有一雙相對的邊互相平行。

      15T  ：你是怎麼知道的？

      16S22：在分類活動的時候，將平行四邊形的邊往兩邊延長，都不會相交於一點，所以平行四邊形有兩雙相對的邊互相平行，不是只有一雙相對的邊互相平行。

 

3.   上課一開始填寫基本性質學習單，有7位學童認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質。在診斷教學後重填學習單，7位學童有4位能夠調整認知認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行不是平行四邊形基本性質。

 

 

五、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質』的診斷教學過程

 

（一）診斷迷思概念

在進行哪些圖形兩雙相對的邊互相平行分類活動的過程中，學生出現『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質』的迷思想法，舉例如下：

 

1148T  ：現在將只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形放白板左邊，不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形放白板右邊。

1149SS ：進行分類活動。

1150T  ：好，大家都完成了。請各位同學展示自己分類的結果。

1151T  ：老師將學生不同的分類結果展示在黑板。

 

S14：             S33：             S25：             S28：

梯形   菱形            長方形            正方形        菱形

平行四邊形   正方形     箏形 正方形      梯形  菱形    梯形  平行四邊形

箏形                   梯形  平行四邊形  長方形  箏形  長方形

             長方形          菱形              箏形          正方形

                             平行四邊形       

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用摺紙的方式讓學生產生認知衝突，舉例如下：

 

1152T  ：黑板上的分類結果，箏形有在左邊、也有右邊，箏形是不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形？

1153SS ：是。

1154SS ：不是。

 

1155T  ：有沒有什麼方法知道箏形到底是不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形？

1156SS ：摺摺看就知道。

1157T  ：S25，你說箏形不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形，所以將箏形的2條對角線對摺，會不會只有一條對角線能使兩邊疊合？

1158SS ：不會。

1159T  ：好，大家把箏形剪下來摺摺看，會不會只有一條對角線能使兩邊疊合？

1160T  ：S25，請你告訴同學摺紙的結果。

1161SS ：摺紙的結果是這樣，直的能疊合，橫的不能疊合。

1162T  ：所以箏形是不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形？

1163SS ：是。

                                                                                         

 

1164T  ：S28，你說梯形只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合，所以將梯形的對角線對摺，只有一條對角線能使兩邊疊合，對不對？

1165S28：對。

1166T  ：好，大家把圖6梯形剪下來摺摺看，梯形是不是只有一條對角線能使兩邊疊合？

1167T  ：S28請你告訴同學摺紙的結果。

1168S28：梯形2條對角線對摺後都不能使兩邊疊合。

1169T  ：很好，所以梯形是不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形？

1170S28：不是。

                                                                                            

 

1171T  ：S14，你說平行四邊形只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合，所以將平行四邊形的對角線對摺，只有一條對角線能使兩邊疊合，對不對？

1172S14：對。

1173T  ：好，大家把平行四邊形剪下來摺摺看，平行四邊形是不是只有一條對角線能使兩邊疊合？

1174T  ：S14請你告訴同學摺紙的結果。

1175S14：平行四邊形2條對角線對摺後都不能使兩邊疊合。

1176T  ：很好，所以平行四邊形是不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形？

1177S14：不是。

 

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（11）題哪些圖形『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』？平行四邊形前測通過率為73.3﹪，後測通過率提升為80﹪，延後測為76.7﹪。箏形前測通過率為76.7﹪，後測通過率提升為86.7﹪，延後測為90﹪。梯形在前測通過率為46.7﹪，後測通過率提升到70﹪，延後測為73.3﹪。

2.   研究者對前測有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知，研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

13T  ：哪些圖形『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』，前測沒選箏形，後測為何選箏形？

      

14S30：之前忘記什麼是對角線，後來在摺紙的時候就知道箏形只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合。

15T  ：這個箏形的對角線在哪裡，能不能指給老師看？（老師拿出箏形）

        16S30：在這裡。（學生正確指出2條對角線）

        17T  ：哪一條對角線對摺後能使兩邊疊合？

        18S30：這一條。（學生正確指出能使兩邊疊合的對角線）

                                                                       

 

11T  ：哪些圖形『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』，前測你選了梯形，為什麼？

        12S21：我以為對稱軸就是對角線，所以就選了梯形。

        13T  ：能不能畫一個梯形給老師看？

    14S21：（運用直尺在點狀紙上畫出一個等腰梯形）

        15T  ：對稱軸在哪裡，能不能畫給老師看？

    16S21：學生正確畫出對稱軸。

        17T  ：那後測為何不選梯形?

    18S21：在分類活動摺紙後知道梯形兩條對角線不能使兩邊疊合？

        19T  ：能不能指出這個梯形的對角線給老師看？

        20S21：在這裡。（學生正確指出2條對角線）

 

3.   上課一開始填寫基本性質學習單，認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質有6位學童，在診斷教學後重填學習單，這6位學童有2位能調整認知認為兩雙相對的邊互相平行是菱形基本性質。認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質有15位學童，在診斷教學後重填學習單，這15位學童有8位能調整認知認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質。有8位學童認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質，在診斷教學後重填學習單，這8位學童有4位能調整認知認為只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是平行四邊形基本性質。

 

    上述基本性質迷思概念診斷教學的探討，研究者將迷思概念分成五大項來分析，現在研究者將這五大項迷思概念，在診斷教學中所運用認知衝突的方式以及學童在教學後認知調整的情形，整理成表4-38，分析如下：

 

 

 

 

 

表4-38：基本性質診斷教學活動整理表

診斷出的

迷思概念

認知衝突

的方式

學生認知調整的情況

『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』、『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』

以梯形及正方形引導出要知道圖形的四個邊是否一樣長，可以運用直尺來測量。接著再讓學生以直尺實際測量菱形、平行四邊形的四個邊來產生認知衝突

1.   平行四邊形通過率前測73.3﹪、後測90﹪、延後測96.7﹪。菱形通過率前測90﹪、後測96.7﹪、延後測93.3﹪。

2.   教學前填寫基本性質學習單，有4位學童認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質，教學後這4位學童中有3位能成功調整認知。同樣有9位學童認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質，教學後這9位學童有6位能成功調整認知。

認為四個角都是直角是菱形基本性質

讓學生透過量角器實際測量菱形的四個角來產生認知衝突

3.   菱形通過率前測73.3﹪、後測76.7﹪、延後測為90﹪。

4.   教學前填寫基本性質學習單，有7位學童認為菱形四個角都是直角，教學後，這7位學童有5位能成功調整認知。

認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質

讓學生實際將菱形的兩雙對邊往兩側延長，看是否會相交於一點來產生認知衝突

3.   菱形的通過率前測為66.7﹪，後測為90﹪，延後測為96.7﹪。

4.   教學前填寫基本性質學習單，有11位學童認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形的基本性質。教學後這11位學童有9位能夠調整認知認為兩雙相對的邊互相平行是菱形基本性質。

 

 

 

 

 

 

認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質

讓學生透過將平行四邊形兩雙相對的邊往兩邊延長，來產生認知衝突

3.   平行四邊形通過率在前測為76.7﹪，後測通過率提升為90﹪，延後測為86.7﹪。

4.   上課一開始填寫基本性質學習單，有7位學童認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質。在診斷教學後重填學習單，7位學童有4位能夠調整認知認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行不是平行四邊形基本性質。

『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形、平行四邊形的基本性質』

運用摺紙的方式讓學生產生認知衝突

3.   箏形前測通過率為76.7﹪，後測通過率提升為86.7﹪，延後測為90﹪。梯形在前測通過率為46.7﹪，後測通過率提升到70﹪，延後測為73.3﹪。平行四邊形前測通過率為73.3﹪，後測通過率提升為80﹪，延後測為76.7﹪。

4.   教學前填寫基本性質學習單，認為『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』不是箏形基本性質有6位學童，教學後這6位學童有2位能調整認知成功。認為是梯形基本性質的有15位，教學後這15位學童有8位能調整認知成功。認為是平行四邊形基本性質的有8位，教學後這8位學童有4位能調整認知成功。

 

表4-38：基本性質診斷教學活動整理表（續頁98）

 

 

 

 

參、包含關係

 

從文獻中預期學生會出現的迷思概念及在四邊形概念測驗前測學生所出現的迷思概念，在包含關係的部分，共計有下列五項：

一、   認為正方形不是長方形一種特例。

二、   認為正方形不是菱形的一種特例。

三、   認為長方形不是平行四邊形的一種特例。

四、   認為菱形不是平行四邊形的一種特例。

五、   認為正方形不是平行四邊形的一種特例。

    學童在包含關係上所出現的五項迷思概念，研究者主要設計了GSP動態模擬長方形、菱形、平行四邊形特例來澄清，以下是研究者對這五項迷思概念診斷教學實施歷程的分析：

 

一、『認為正方形不是長方形的一種特例』的診斷教學過程

（一）熟悉長方形GSP的動態模擬

由於學童沒有運用GSP做長方形動態模擬的經驗，研究者先讓學童熟悉GSP的操作，從操作中知道GSP能模擬出各式各樣的長方形。

 

3021T  ：好，現在每位同學都操作看看，在操作的過程中，請仔細觀察長方形邊長與角度的變化。

3022SS ：進行操作。

3023T  ：好，停止操作。

3024T  ：在剛剛動態模擬的過程中有沒有模擬出各式各樣不同的長方形？

3025SS ：有。（如：圖1）

圖1

（二）與學生以前的學習經驗相連結

澄清『認為正方形不是長方形的一種特例』迷思想法前，研究者透過GSP的動態模擬操作，與學生以前學習經驗相連結，讓學生知道四個角都是90度的圖形就是長方形。

 

3026T  ：請大家看看現在電腦上的長方形是不是四個角都是90度？

3027SS ：是。

3028T  ：剛剛操作長方形的過程中，長方形的四個角的角度改變過嗎？

3029SS ：沒有。

3030T  ：都是幾度？

3031SS ：都是90度。

3032T  ：所以四個角都是90度的四邊形，我們稱為長方形，對不對？

3033SS ：對。

 

（三）診斷迷思概念

研究者以學童的造圖結果，詢問學生正方形是不是長方形一種，學生出現 『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思想法，舉例如下：

 

3034T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的長方形，有同學畫了正方形。你們覺得正方形是不是長方形的一種？

3035SS ：是。

3036SS ：不是。（呈現迷思想法）

 

（四）製造認知衝突

針對學生的迷思想法，研究者運用讓學童在長方形的動態模擬中，能夠模擬出正方形的方式，來產生認知衝突，舉例如下：

 

3037T  ：正方形若是長方形的一種特例，在長方形的動態模擬中會不會出現正方形？

3038SS ：會。

3039T  ：正方形若不是長方形的一種，在長方形的動態模擬中會不會出現正方形？

3040SS ：不會。

3041T  ：好，能不能舉一個正方形的例子，如邊長是幾公分，角度是幾度？

3042S26：邊長都是4公分，角度都是90度。

3043T  ：好！我們大家一起來試試看，在長方形的動態模擬中會不會出現邊長都是4公分，角度都是90度的正方形？若找到請舉手告訴老師。

3044SS ：老師，我找到了。（如圖2）

3045SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

圖2：動態模擬正方形是長方形

 

3046T  ：這樣正方形是不是長方形的一種？

3047SS ：是。

3048T  ：有沒有人能說說看，為什麼正方形是長方形的一種？

3049S02：四個角都是直角的圖形是長方形，正方形也有四個直角，所以也是長方形的一種。

 

（五）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（11）題正方形是長方形的一種嗎？在前測能回答『是』的只有33.3﹪、能寫出正方形四個角都是直角所以是長方形的一種只有26.7﹪。診斷教學後所進行的後測能回答『是』的提升為90﹪、能寫出正方形四個角都是直角所以是長方形的一種提升為83.3﹪，延後測能回答『是』的為83.7﹪、能寫出正方形四個角都是直角所以是長方形的一種提升為63.3﹪。從以下學生前測、後測所回答的理由，可以映證學生的轉變。

S15前測：正方形不是長方形的一種，因為正方形的四邊都一樣長，長方形沒有。

S15後測：正方形是長方形的一種，因為正方形四個角都是直角。

 

2.四邊形概念測驗第（2）題選項ㄇ    是不是長方形，在前測通過率只有26.7﹪，在診斷教學後所進行的後測通過率提升到86.7﹪。

3.研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

   17T  ：在前測你認為正方形不是長方形的一種，為什麼？

      18S22：正方形是正正方方的，長方形是長長的，所以正方形看起來就不像長方形。

      19T  ：在後測你認為正方形是長方形的一種，為什麼？

      20S22：在電腦課用GSP時有模擬出正方形，而且正方形四個角也都是直角所以是長方形。

 

4.教學前讓30位學生盡量畫出不同的長方形，畫出正方形的同學只有3位，診斷教學後讓學生再畫圖，能畫出正方形的學童提升為20位學童。

 

二、『認為正方形不是菱形的一種特例』的診斷教學過程

（一）熟悉菱形GSP的動態模擬

由於學童沒有運用GSP做菱形動態模擬的經驗，研究者先讓學童熟悉菱形GSP的操作，從操作中知道GSP能模擬出各式各樣的菱形。

 

3054T  ：操作的方式和長方形一樣，請各位仔細看看每個菱形的邊長和角度？

3055SS ：進行操作。

3056T  ：好，大家停止操作。

3057T  ：在剛剛動態模擬的過程中有沒有模擬出各式各樣不同的菱形？

3058SS ：有。（如：圖3）

圖3動態模擬菱形畫面圖

 

（二）與學生以前的學習經驗相連結

澄清迷思想法前，研究者透過菱形的動態模擬操作，與學生以前學習經驗相連結，讓學生知道四個邊都一樣長的圖形就是菱形。

 

3059T  ：那剛剛操作出來的菱形，每個菱形是不是四個邊都一樣長？

3060SS ：是。

3061T  ：所以四個邊都一樣長的四邊形，我們稱為菱形，對不對？

3062SS ：對。

 

（三）診斷迷思概念

研究者運用學童的造圖結果，詢問學生正方形是不是菱形一種，學生出現 『認為正方形不是菱形的一種特例』的迷思想法，舉例如下：

 

3063T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的菱形，有同學畫了正方形。你們覺得正方形是不是菱形的一種？

3064SS ：是。

3065SS ：不是。（呈現迷思想法）

 

（四）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用讓學生從菱形的動態模擬中，能夠模擬出正方形的方式，來產生認知衝突，舉例如下：

3066T  ：正方形若是菱形的一種特例，在菱形的動態模擬中會不會出現正方形？

3067SS ：會。

3068T  ：正方形若不是菱形的一種特例，在菱形的動態模擬中會不會出現正方形？

3069SS ：不會。

3070T  ：好，能不能舉一個正方形的例子，如邊長是幾公分，角度是幾度？

3071S11：邊長都是4.6公分，角度都是90度。

3072T  ：好！我們大家一起來試試看，在菱形的動態模擬中會不會出現邊長都是4.6公分，角度都是90度的正方形？找到請舉手告訴老師。

3073SS ：老師，我找到了。（如圖4）

3074SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

圖4：動態模擬正方形是菱形

3075T  ：這樣正方形是不是菱形的一種？

3076SS ：是。

3077T  ：有沒有人能說說看，為什麼正方形是菱形的一種？

3078SS ：正方形四個邊也都一樣長，所以也算是菱形的一種。

 

（五）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（13）題正方形是菱形的一種嗎？在前測能回答『是』的有73.3﹪、能寫出正方形四個邊都一樣長所以是菱形的一種有26.7﹪。診斷教學後所進行的後測能回答『是』的提升為96.7﹪、能寫出正方形四個邊都一樣長所以是菱形的一種提升為63.3﹪。延後測能回答『是』的為80﹪、能寫出正方形四個邊都一樣長所以是菱形的一種提升為56.7﹪，由以下學生前測、後測所回答的理由，可以看出學生的轉變。

 

S01前測：因為正方形的邊都是直的，菱形的邊是斜的，所以我覺得正方形不是菱形的一種。

S01後測：正方形是菱形的一種，因為正方形與菱形相同，每個邊都一樣長。

 

2.   四邊形概念測驗第（4）題選項ㄈ    是不是菱形，在前測通過率只有33.3﹪，在診斷教學後所進行的後測通過率提升到93.3﹪。

3.   對有迷思概念的學生進行訪談，證實研究者所設計的診斷教學活動，對於澄清學童的迷思概念有幫助，舉例如下：

 

   11T  ：在前測你認為正方形不是菱形的一種，為什麼？

      12S24：菱形的角沒有直角、正方形有直角所以不是菱形。

      13T  ：在後測你認為正方形是菱形的一種，為什麼？

      14S24：因為菱形四個邊一樣長，正方形四個邊也都一樣長，所以正方形是菱形。

      15T  ：你是怎麼知道的？

      16S24：在電腦課操作GSP時知道的。

 

4.   在教學前讓30位學生盡量畫出不同的菱形，能畫出特例正方形的同學只有10位，診斷教學後讓學生再造圖，能畫出正方形的學童提升為24位學童。

 

 

三、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』的診斷教學過程

 

（一）熟悉平行四邊形GSP的動態模擬

由於學童沒有運用GSP做平行四邊形動態模擬的經驗，研究者先讓學童熟悉平行四邊形GSP的操作，從操作中知道GSP能模擬出各式各樣的平行四邊形。

3096T  ：操作的方式和前面一樣，請各位仔細看看角E、角L、角K、角M的角

度？

3097SS ：進行操作。

3098T  ：好，大家停止操作。

3099T  ：有沒有操作出許多不同的平行四邊形？

3100SS ：有。（如：圖6）

圖6：動態模擬平行四邊形畫面圖

 

（二）與學生以前的學習經驗相連結

澄清迷思想法前，先與學生以前的學習經驗相連結，讓學生知道只要角E、角L、角K、角M是90度，平行四邊形兩雙相對的邊就有互相平行。有兩雙相對的邊互相平行的圖形就是平行四邊形。

 

3101T  ：角E、角L、角K、角M是不是都是90度？

3102SS ：是。

3103T  ：有沒有人知道，老師在這邊設計角E、角L、角K、角M的用意？

3104SS ：………。

3105T  ：好，在前面分類活動時，我們說有什麼性質的圖形是平行四邊形？

3106SS ：兩雙相對的邊互相平行的四邊形。

3107T  ：如何知道兩雙相對的邊有沒有互相平行？

3108SS ：延長後不會相交一點，就互相平行。

3109T  ：很好，還有沒有其他方法？

3110S11：我記得四年級時，老師曾教過兩條線同垂直於一條線就互相平行。

3111T  ：很好，兩條直線只要同垂直於一條線就有互相平行，同不同意？

3112SS ：同意。

3113T  ：請各位看電腦，角E是不是90度？（運用電腦廣播說明）

3114SS ：是。

3115T  ：這樣邊CD和LE有沒有互相垂直？

3116SS ：有。

3117T  ：各位看角L是不是90度？

3118SS ：是。

3119T  ：這樣邊AB和LE有沒有互相垂直？

3120SS ：有。

3121T  ：邊CD、邊AB都和LE互相垂直，所以邊CD、邊AB是不是互相平行？

3122SS ：是。

3123T  ：同樣的道理，角K、角M是不是也都是90度？

3124SS ：是。

3125T  ：所以邊BC、邊DA和KM有沒有互相垂直？

3126SS ：有。

3127T  ：這樣邊BC、邊DA是不是互相平行？

3128SS ：是。

3129T  ：很棒，只要角E、角L、角K、角M都是90度，就代表模擬出來的圖形兩雙相對的邊都有互相平行。

 

（三）診斷迷思概念

研究者運用學童的造圖結果，詢問學生長方形是不是平行四邊形一種，學生出現 『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思想法，舉例如下：

 

3130T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的平行四邊形，有同學畫了長方形。你們覺得長方形是不是平行四邊形的一種？

3131SS ：是。

3132SS ：不是。（呈現迷思想法）

 

（四）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用讓學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出長方形的方式，來產生認知衝突，舉例如下：

 

3133T  ：長方形若是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現長方形？

3134SS ：會。

3135T  ：長方形若不是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現長方形？

3136SS ：不會。

3137T  ：好！我們一起來試試看，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現長方形？（若是有人找到請舉手告訴老師）

3138SS ：老師，我找到了。（如圖7）

3139SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3140T  ：這樣長方形是不是平行四邊形的一種？

3141SS ：是。

3142T  ：有沒有人能說說看，為什麼長方形是平行四邊形的一種？

3143S12：長方形兩雙相對的邊都有互相平行，所以也算是平行四邊形的一種。

3144T  ：你如何知道長方形兩雙相對的邊都有互相平行？

3145S12：角E、角L、角K、角M都是90度，所以長方形兩雙相對的邊都有互相平行。

圖7：動態模擬長方形平行四邊形特例

 

（五）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（17）題長方形是平行四邊形的一種嗎？前測能回答『是』的為56.7﹪、能寫出長方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種只有36.7﹪。診斷教學後所進行的後測能回答『是』的提升為90﹪、能寫出長方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種提升到76.7﹪，延後測能回答『是』的為90﹪、能寫出長方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種為76.7﹪。由學生前測、後測所回答的理由，也可以看出學生的轉變，舉例如下：

S03前測：長方形不是平行四邊形的一種，因為長方形有四個直角，平行四邊形不一定。

S03後測：長方形是平行四邊形的一種，因為它們兩雙相對的邊都有互相平行。

2.   四邊形概念測驗第（3）題選項 ㄇ        是不是平行四邊形，在前測通過率只有36.7﹪，在診斷教學後所進行的後測通過率提升到83.3﹪。

3.   研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

 

15T  ：在前測你認為長方形不是平行四邊形的一種，在後測你認為長方

形是長方形的一種，為什麼？

      16S15：以前我不知道長方形是平行四邊形的一種，上完課後才知道。

      17T  ：在回答這個問題時，你想到哪些上課的內容？

      18S15：上電腦課時，用GSP模擬平行四邊形時有模擬出長方形。

4.   在教學前讓30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能夠畫出長方形的同學只有11位，診斷教學後讓學生再造圖，能畫出長方形的學童提升為27位學童。

 

四、『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的診斷教學過程

由於還是繼續運用GSP做平行四邊形的動態模擬來澄清迷思概念，學童已熟悉GSP的操作，並從舊經驗中知道只要兩雙相對的邊互相平行的圖形就是平行四邊形，因此研究者就從診斷學生的迷思概念開始：

（一）診斷迷思概念

研究者運用學童的造圖結果，詢問學生菱形是不是平行四邊形一種的過程中，學生出現 『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的迷思想法，舉例如下：

 

3146T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的平行四邊形，有同學畫了菱形。你們覺得菱形是不是平行四邊形的一種？

3147SS ：是。

3148SS ：不是。

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用讓學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出菱形的方式，來產生認知衝突，舉例如下：

3149T  ：菱形若是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現菱形？

3150SS ：會。

3151T  ：菱形若不是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現菱形？

3152SS ：不會。

3153T  ：好！我們大家一起來試試看，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現菱形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3154SS ：老師，我找到了。（如圖8）

3155SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3156T  ：這樣菱形是不是平行四邊形的一種？

3157SS ：是。

3158T  ：為什麼菱形是平行四邊形的一種？

3159S16：菱形兩雙相對的邊互相平行，所以是平行四邊形的一種。

3160T  ：你如何知道菱形兩雙相對的邊都有互相平行？

3161S16：角E、角L、角K、角M都是90度，所以菱形兩雙相對的邊都互相平行。

圖8：動態模擬菱形是平行四邊形特例

 

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（15）題菱形是平行四邊形的一種嗎？在前測能回答『是』的只有66.7﹪、能寫出菱形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種只有33.3﹪。診斷教學後所進行的後測能回答『是』的提升為86.7﹪、能寫出菱形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種提升為70﹪，延後測能回答『是』的提升為86.7﹪、能寫出菱形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種提升為70﹪。從學生前測、後測所回答的理由，也可以發現學生的轉變，舉例如下：

 

S06前測：菱形不是平行四邊形的一種，因為菱形四個邊一樣長，平行四邊形沒有一樣長。

S06後測：菱形是平行四邊形的一種，因為菱形兩組相對的邊也有互相平行。

2.   四邊形概念測驗第（1）題選項ㄅ    是不是平行四邊形，在前測通過率只有46.7﹪，在診斷教學後所進行的後測通過率提升到76.7﹪。

3.   研究者對有迷思概念的學生進行訪談，由訪談結果可知研究者所設計的診斷教學活動，能夠澄清學童的迷思概念，舉例如下：

15T  ：在前測你認為菱形不是平行四邊形的一種，為什麼？

    16S07：我認為菱形和箏形很像，所以菱形不是是平行四邊形的一種。

  15T  ：在後測你認為菱形是平行四邊形的一種，為什麼？

      16S07：上電腦課之後就知道了。

      17T  ：你是怎麼知道的？

      18S07：上電腦課時，用GSP模擬菱形根本就不會出現箏形，還有用GSP模擬平行四邊形會出現菱形。

 

4.   在教學前讓30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能畫出菱形的同學只有5位，診斷教學後讓學生再造圖，能畫出菱形的學童提升為18位學童。

 

五、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』的診斷教學過程

與之前面『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的診斷教學一樣，研究者從診斷學生的迷思概念開始。

 

（一）診斷迷思概念

研究者運用學童的造圖結果，詢問學生正方形是不是平行四邊形一種的過程中，學生呈現出 『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思想法，舉例如下：

 

3162T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的平行四邊形，有同學畫了正方形。你們覺得正方形是不是平行四邊形的一種？

3163SS ：是。

3164SS ：不是。

 

（二）製造認知衝突

針對學生出現的迷思想法，研究者運用讓學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出正方形的方式，來產生認知衝突，舉例如下：

3165T  ：正方形若是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現正方形？

3166SS ：會。

3167T  ：正方形若不是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現正方形？

3168SS ：不會。

3169T  ：好！我們大家一起來試試看，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現正方形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3170SS ：老師，我找到了。（如圖9）

3171SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3172T  ：這樣正方形是不是平行四邊形的一種？

3173SS ：是。

3174T  ：為什麼正方形是平行四邊形的一種？

3175SS ：正方形兩雙相對的邊都也有互相平行，所以是平行四邊形的一種。

3176T  ：你如何知道正方形兩雙相對的邊都有互相平行？

3177SS ：角E、角L、角K、角M都是90度，所以正方形兩雙相對的邊都有互相平行。

           圖9：動態模擬正方形是平行四邊形特例

 

（三）學生認知調整的狀況

1.   四邊形概念測驗第（16）題正方形是平行四邊形的一種嗎？在前測能回答『是』的只有60﹪、能寫出正方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種只有40﹪。診斷教學後所進行的後測能回答『是』的提升為90﹪、能寫出正方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種提升為80﹪。延後測能回答『是』的提升為86.7﹪、能寫出正方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種提升為80﹪。由學生前測、後測所回答的理由，可以發現學生的轉變，舉例如下：

 

S31前測：正方形不是平行四邊形的一種，因為正方形上下左右都一樣長，平行四邊形上下跟左右不一樣長。

S31後測：正方形是平行四邊形的一種，因為正方形和平行四邊形一樣兩雙相對的邊互相平行。

 

2.   四邊形概念測驗第（3）題選項ㄅ    是不是平行四邊形，在前測通過率只有36.7﹪，在診斷教學後所進行的後測通過率提升到83.3﹪。

3.   對有迷思概念的學生進行訪談，證實研究者所設計的診斷教學活動，對於澄清學童的迷思概念有幫助，舉例如下：

 

    23T  ：在前測你認為正方形不是平行四邊形的一種，為什麼？

      24S13：正方形四個角都是直角，平行四邊形斜斜的沒有直角，所以正方形不是平行四邊形的一種。

    25T  ：在後測你認為正方形是平行四邊形的一種，為什麼？

      26S13：上完電腦課後就知道。

    27T  ：能不能告訴老師你知道什麼？

      28S13：正方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種。

29T  ：在回答這個問題時，你有想到哪些上課的內容？

      30S13：上電腦課時，用GSP模擬平行四邊形時有模擬出正方形。

 

4.   在教學前讓30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能畫出正方形的同學只有11位，診斷教學後讓學生再造圖，能畫出正方形的學童提升為27位。

 

    研究者將包含關係上所出現的五項迷思概念，在診斷教學中所運用認知衝突的方式以及學童在教學後認知調整的情形，整理成表4-39，分析如下：

 

 

 

表4-39：包含關係的診斷教學活動整理表

 

診斷出的

迷思概念

認知衝突

的方式

學生認知調整的情況

認為正方形不是長方形的一種特例

讓學童在長方形的動態模擬中，能夠模擬出正方形的方式，來產生認知衝突。

1.   正方形是長方形的一種嗎？前測能回答『是』的只有33.3﹪、能寫出正方形四個角都是直角所以是長方形的一種只有26.7﹪。後測通過率分別提升為90﹪、83.3﹪，延後測通過率分別為86.7﹪、63.3﹪。

2.   教學前讓30位學生盡量畫出不同的長方形，畫出正方形的同學只有3位，教學後提升為20位。

 

認為正方形不是菱形的一種特例

運用讓學生從菱形的動態模擬中，能夠模擬出正方形的方式，來產生認知衝突

1.   正方形是菱形的一種嗎？前測能回答『是』的有73.3﹪、能寫出正方形四個邊都一樣長所以是菱形的一種有26.7﹪。後測通過率分別為96.7﹪、63.3﹪。延後測通過率分別為80﹪、56.7﹪。

2.   教學前讓30位學生盡量畫出不同的菱形，能畫出正方形的只有10位，教學後提升為24位。

認為長方形不是平行四邊形的一種特例

運用讓學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出長方形的方式，來產生認知衝突

1.   長方形是平行四邊形的一種嗎？前測能回答『是』的為56.7﹪，能寫出長方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種只有36.7﹪。後測分別提升為90﹪、76.7﹪，延後測分別為90﹪、76.7﹪。

2.   教學前讓30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能夠畫出長方形的只有11位，教學後提升為27位。

 

 

 

表4-39：包含關係的診斷教學活動整理表（續頁116）

 

認為菱形不是平行四邊形的一種特例

運用讓學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出菱形的方式，來產生認知衝突

1.   菱形是平行四邊形的一種嗎？在前測能回答『是』的只有66.7﹪、能寫出菱形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形一種只有33.3﹪。後測分別提升為86.7﹪、70﹪，延後測分別為76.7﹪、70﹪。

2.   教學前讓30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能畫出菱形的同學只有5位，教學後提升為18位。

認為正方形不是平行四邊形的一種特例

運用讓學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出正方形的方式，來產生認知衝突

1.   正方形是平行四邊形的一種嗎？在前測能回答『是』的只有60﹪，能寫出正方形兩雙相對的邊互相平行所以是平行四邊形的一種只有40﹪。後測分別提升為90﹪、80﹪。延後測分別提升為86.7﹪、80﹪。

2.   教學前讓30位學生盡量畫出不同的平行四邊形，能畫出正方形的同學有11位，教學後提升為27位。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第三節 診斷教學後的省思

 

本研究的教學實驗過程，大致符合原先預定的四邊形診斷教學的內容。雖然診斷教學的結果對於澄清學童的迷思概念有立即顯著的效果，概念保留的成效也很良好，但仍有一些地方是可以繼續努力的。以下是研究者對於三項教學活動的省思，希望能提供未來從事類似診斷研究的參考。

 

貳、  四邊形分類活動

 

從四邊形概念測驗中，研究者發現哪些圖形『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』箏形前測通過率為90﹪，到了後測降低為80﹪。研究者進一步詢問前測答對但後測答錯的同學，訪談後發現學生會將『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』和『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』搞混，舉例如下：

 

01T  ：哪些圖形『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』？前測時你沒有選箏形，為什麼？                       B

  02S06：因為那時候不知道。                      A

  03T  ：後測你有選箏形，為什麼？

  04S06：箏形這樣摺的時候有平行（用手指B線）、這樣摺的時候就不會互相平行了（用手指A線）。

 

除此之外，研究者也發現部分學生會將『相對的邊互相平行』誤認為是『相對的邊一樣長』，舉例如下：

 

01T  ：哪些圖形『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』？前測時你沒有選梯形，為什麼？                         

  02S33：因為我以為梯形是兩雙相對的邊互相平行。                   

  03T  ：後測你選了梯形，為什麼？

  04S33：梯形就是只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行。

  05T  ：能不能告訴老師梯形是哪一雙互相平行？（老師指圖形單詢問）

  06S33：u和w互相平行。（學生指著圖形單上等腰梯形的兩個側邊）

  07T  ：哪一雙不互相平行？（老師指圖形單詢問）

  08S33：x和v互相平行。（學生指著圖形單上等腰梯形的上底、下底）

 

受限於時間有限，研究者進行診斷教學直接從圖形的基本性質『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』開始，對於學童是否了解『平行』的意義並沒有進一步去診斷。同樣地，學童會將等腰梯形的對稱軸認為是對角線，也有可能是研究者在教學一開始就從『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』性質切入，並沒有進一步診斷學童對於『對角線』是否理解，所以在診斷教學的後測還是有30﹪的學童誤認為梯形只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合。

學童會將相對的邊互相平行誤認為是相對的邊一樣長以及誤認為對角線就是對稱軸，研究者認為可能是在診斷教學上給學童的例子太少所導致。進行教學時研究者給每位學生一張圖形單，讓學生摺紙與測量來澄清迷思概念，不過圖形單上每一種四邊形都只有一個例子，研究者給學生梯形的圖例就是等腰梯形。只有這樣單一的示範例子，可能造成學生直接將等腰梯形與梯形劃上等號，所以才會誤認為相對的邊一樣長就是相對的邊互相平行，對角線就是對稱軸。若是在圖形單放進一些其他梯形的圖例，可能就不會有這樣的情況。如在圖形單中再加入有直角的梯形（如       ）在摺紙時邊都不會重疊，學童就不會誤認為對角線就是對稱軸了。此外再進行分類活動之前，對於『平行』、『對角線』應該設計活動，讓學童對於『什麼是平行』、『什麼是對角線』有更清楚的了解，這樣對於診斷教學的效果應該會有更進一步的幫助。

四邊形分類活動除了可進一步以上述的方式來加強外，整個教學讓研究者預料之外的，就是從訪談過程中發現四邊形分類活動除了可以診斷出學童在基本性質的迷思概念外，對於部分學童，也能夠澄清學童在包含關係上的迷思概念，舉例如下：

 

＜例1＞   澄清『認為正方形不是長方形一種特例』的迷思概念：

05T  ：在前測你認為正方形不是長方形的一種，為什麼？

      06S16：我覺得正方形四個邊一樣長，長方形是一邊長一邊短，所以正方形不是長方形的一種。

      07T  ：後測時，你認為正方形是長方形的一種，為什麼？

      08S16：在四邊形分類活動的時候，正方形和長方形四個角都是直角，所以正方形是長方形的一種。

 

＜例2＞   澄清『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念：

 

07T  ：在前測你認為長方形不是平行四邊形的一種，為什麼？

      08S05：我覺得長方形四個角都是直角，平行四邊形沒有四個角都是直角，所以長方形不是平行四邊形的一種。

      09T  ：在後測你認為長方形是平行四邊形的一種，為什麼？

      10S05：四邊形分類活動，長方形和平行四邊形都是兩雙相對的邊互相平行所以長方形是平行四邊形的一種。

 

＜例3＞澄清『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念：

 

11T  ：在前測你認為菱形不是平行四邊形的一種，為什麼？

      12S05：我覺得菱形四個邊都一樣長，平行四邊形四個邊沒有一樣長，所以菱形不是平行四邊形的一種。

      13T  ：在後測為什麼你認為菱形是平行四邊形的一種？

      14S05：四邊形分類活動，菱形和平行四邊形都是兩雙相對的邊互相平行，所以菱形是平行四邊形的一種。

 

＜例4＞澄清『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念：

 

15T  ：在前測你認為正方形不是平行四邊形的一種，為什麼？

      16S05：我覺得正方形都是四四方方的，平行四邊形都是斜的，所以正方形不是平行四邊形的一種。

      17T  ：在後測你認為正方形是平行四邊形的一種，為什麼？

      18S05：四邊形分類活動時，正方形和平行四邊形都是兩雙相對的邊互相平行，所以正方形是平行四邊形的一種。

     19T  ：除了分類活動外，你回答這個問題時還想到哪些活動？

20S05：在GSP動態模擬時，模擬平行四邊形時有出現正方形。

 

由上面的四個例子可知，學童的概念是隨時隨著老師的教學來進行調整與修正的。研究者在分類活動教學時並沒有要澄清學童在包含關係上的迷思概念，但有些有迷思概念的學童，由於對圖形的定義清楚，則能夠從活動中觸類旁通，來進一步修正自己的迷思概念。

 

參、  四邊形造圖活動

 

研究者從學童的造圖結果中發現讓學童盡量畫出不同的圖形，學童幾乎都能運用『大小不同』的方式來呈現圖形，但是能運用『方位不同』方式來呈現的學童卻不多，所畫出的圖形幾乎都是水平或是鉛垂擺設，受於時間限制，研究者沒有進一部進行診斷學生是否只認為水平擺設或鉛垂擺設的圖形才是正確的。但研究者推測也有可能是學童知道可以運用『方位不同』來畫，卻不知道如何在點狀方格紙上來呈現。

研究者讓學童進行造圖活動，主要是運用學童的造圖結果來進行診斷教學，並看學童在診斷教學後能不能對於自己的繪圖進行修正。雖然診斷教學有良好的成效，但運用問答的方式來診斷學生的迷思概念，只能診斷出一、二位學童的迷思概念，較難掌握全班同學中到底哪些學童有迷思概念？因為只要學生不發表，老師就無法診斷出這位學童到底有沒有迷思概念。所以研究者認為好的診斷方式，應該就像分類活動一樣，讓每位同學都實際參與操作，老師只要從學生的分類操作結果就可以診斷出學生的迷思概念。

在診斷教學後，研究者進行自我省思後發現，其實要診斷出學生的迷思概念還是可以直接讓學生去進行造圖的方式來診斷。舉例而言，可以預先在點狀方格紙上畫上一條斜線，請學生以這條斜線畫出一個正方形，如此就可以直接從學生的造圖結果來診斷學生有沒有『認為沒有成水平擺設的正方形不是正方形』的迷思概念。同樣，也可請學生運用這條斜線畫出一個平行四邊形，如此也可以直接從學生的造圖結果來診斷學生有沒有『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念。此外，也可預先在點狀方格紙上畫出一個直角，請學生以這個直角畫出一個梯形，這樣也可以直接從學生的造圖結果來診斷學生有沒有『認為有直角的梯形就不是梯形』的迷思概念。

 

參、電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形的特例活動

 

研究者在平行四邊形的動態模擬中，讓學生知道只要角E、角L、角K、角M是90度（如圖4-4），平行四邊形兩雙相對的邊就有互相平行。這樣的方式主要是與學生以前的先備經驗『兩條線若同垂直於一條直線就互相平行』的學習經驗相連結。不過若能在進行平行四邊形的動態模擬前，設計活動讓學童去熟悉要知道兩條直線是否有互相平行，可以透過這兩條直線是否同時垂直一條直線的方式來驗證。活動之後再引入只要角E、角L、角K、角M是90度，平行四邊形兩雙相對的邊就有互相平行，相信教學效果會更好。

在訪談活動中，研究者對學生進行訪談到最後，都會問學童一個問題，就是你覺得這次的四邊形教學活動跟你以往所學的四邊形教學有何不同？訪談的結果，每位學生都告訴研究者運用GSP來進行四邊形的動態模擬與以前的教學很不同，舉例如下：

 

21T  ：你覺得這次的四邊形教學活動跟你以往所學的四邊形教學有何不同？

22S22：我覺得最大不同是這次有GSP的電腦動態模擬教學，以前都沒有運用電腦上過四邊形的課。

23T  ：你喜歡GSP電腦動態模擬的教學活動嗎？

24S22：喜歡。

25T  ：為什麼？

26S22：電腦動態模擬很好玩，能夠一下子模擬出許多的圖形，能夠實際操作這樣比較有真實感，以前都沒有操作。

27T  ：以前都沒有操作，那你們是怎麼上課？

28S22：老師就直接拿圖告訴我們這是什麼圖形。

 

研究者主要運用GSP進行包含關係的診斷教學，由於學生對於正方形、長方形、平行四邊形、菱形都有實際操作去進行動態模擬，無形中對於包含關係以外的迷思概念也有澄清的作用。從訪談中就可以發現GSP除了能澄清包含關係外，對其他迷思概念也有澄清作用，舉例如下：

六、   澄清「認為沒有成水平擺設的的正方形不是正方形」的迷思概念

      05T  ：你在前測沒選ㄅ，後測為何選ㄅ？（老師手指選項ㄅ    ）

       06S07：因為它有四個邊一樣長、四個角都是直角。

       07T  ：你是怎麼知道的？

       08S07：在GSP動態模擬時知道的。

 

研究者之前是在造圖活動時，運用將圖形旋轉的方式來澄清學童『沒有成水平擺設的的正方形不是正方形』的迷思概念，學童雖有認知衝突，但可能無法馬上進行認知調整。而學童運用GSP進行菱形動態模擬時，有操作出倒過來擺設的正方形（如圖4-1），並在操作的過程有依照老師的要求注意到圖形邊角的變化，所以學童能更進一步調整自己的迷思概念。

 

                   圖4-1：動態模擬正方形是菱形

 

七、   澄清「認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質」的迷思概念

 

01T  ：前測你沒有選菱形，後測為何又選了菱形？

        02S16：菱形四個邊有一樣長。

        03T  ：你是怎麼知道的？

        04S16：在GSP動態模擬時知道的。

 

例如圖4-2直的菱形變成圖3-3橫的菱形，在圖形變動的過程中，邊長與角度的值就跟著改變。所以研究者推測GSP動態模擬能澄清學童「認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質」的迷思概念，應該是學童經由實際操作看到每個菱形的邊都是一樣長有關。

 

圖4-2：GSP動態模擬直的菱形

 

                    圖4-3：GSP動態模擬橫的菱形

 

八、   澄清『認為四個角都是直角是菱形基本性質』的迷思概念

 

11T  ：前測你有選菱形，後測為何選沒菱形？

        12S25：後來我知道菱形四個角沒有都是直角。

        13T  ：你是怎麼知道的？

            14S25：在上電腦課用GSP的時候知道的。

 

再以圖3-2、圖4-3為例，再GSP動態模擬的過程中，會隨時顯現出新圖形的邊長與角度。所以研究者推測GSP動態模擬能澄清『認為四個角都是直角是菱形基本性質』的迷思概念，應該是學童在操作的過程中發現其模擬出來的菱形角度都不是直角。

 

九、   澄清「認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形」的迷思概念

03T  ：你在前測沒選ㄊ，後測為何選ㄊ？（老師用手指選項ㄊ     ）

      04S13：在GSP動態模擬平行四邊形時，我有模擬出這樣的平行四邊形。

 

實際操作比憑空想像更有效果，研究者之前是在造圖活動時，運用將圖形旋轉的方式來澄清學童『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念，學童雖有認知衝突，但可能無法馬上進行認知調整。但在運用GSP模擬的過程中有操作出非水平擺設的平行四邊形（如圖4-4），由於這樣的操作對學童而言有立即檢驗的效果，所以學生才能進一步調整迷思概念。

圖4-4：GSP動態模擬平行四邊形

 

十、   澄清『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的迷思概念

以圖4-4為例，在GSP動態模擬平行四邊形的過程中，會隨時顯現出新圖形的邊長與角度。所以研究者推測GSP動態模擬能澄清『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的迷思概念，應該是學童在操作的過程中發現模擬出來的平行四邊形四個邊都沒有一樣長有關。

由上面訪談的結果可知，學童喜歡有趣且能夠實際操作的學習，實際上幾何課程要有好的教學效果，一定要讓學生覺得課程很有趣並能實際操作。若幾何課程只是以一般的講述方式來進行，學生很難有興趣，若遇到較抽象的問題，對學生來說更是天馬行空。GSP的教學正好能彌補這樣的缺點，依據研究者任教高年級八年的經驗，用電腦上課可說是高年級學童的最愛，加上GSP能夠讓學生操作，學生隨時能模擬出各式各樣的圖形，並且能馬上讓操作者知道圖形的邊長與角度，無形間學生就在操作的過程學到幾何概念，非常符合現在學生速食式的需求，若是GSP能多運用在幾何診斷教學活動上，相信對於澄清學童的迷思概念很有幫助。

   

研究者認為診斷教學與補救教學最大的不同是診斷教學運用『認知衝突』的方式，讓學童本身來發現自己的錯誤。而補救教學通常是老師直接告訴學生有哪些錯誤，然後再將錯誤的地方重新再教一次。在進行診斷教學實驗後，研究者在教學上最大的收穫，就是會善用『認知衝突』的策略來進行教學，當研究者發現學生出現錯誤的概念時，不會像以往急著糾正學生的錯誤，而是去想要怎樣去設計『認知衝突』的教學，讓學童本身來發現自己的錯誤。從這樣的教學經驗中 ，研究者發現讓學童去發現自己的錯誤，然後進一步去改正的效果。會比老師告知錯誤，學童再重學一次的效果要來的好。所以研究者認為數學教師若能善用『認知衝突』的策略來教學，相信對於學生的學習會更有幫助。

 

 

 

 

 

 

 

第五章 結論與建議

 

    本研究以六年級學童為研究對象，運用彈性課程的時間，進行四邊形迷思概念診斷教學實驗活動。本章將依據教學實驗的結果提出結論並且提供教學、課程設計、以及未來研究的建議。

 

第一節結論

 

    本節分別就四邊形迷思概念診斷教學的實施成效以及診斷教學的實施歷程二部分，歸納出主要的研究結論。

 

壹、  四邊形迷思概念診斷教學的實施成效

 

    本研究針對學童在四邊形概念測驗前測、後測、延後測的成果，整理出四邊形診斷教學成效的結論，敘述如下：

一、   六年級學童四邊形概念測驗的前測、後測達到統計上的顯著差異，診斷教學實驗對於澄清六年級學童的四邊形迷思概念有立即的成效。

二、   六年級學童四邊形概念測驗的前測、延後測達到統計上的顯著差異，診斷教學實驗一個月後對澄清學童的四邊形迷思概念仍有良好的成效。

三、   六年級學童四邊形概念測驗的後測、延後測沒有達到統計上的顯著差異，學生在診斷教學後概念的保留成效良好。

四、   分別對男女生四邊形概念測驗的前測、後測成績進行T考驗，都有達到統計上的顯著差異，代表診斷教學實驗對於不同性別的學童在澄清四邊形迷思概念的效果上都有立即的成效。

五、   分別對男女生四邊形概念測驗的前測、延後測成績進行T考驗，都有達到統計上的顯著差異，代表在診斷教學實驗實施一個月後，對於不同性別的學童在澄清四邊形迷思概念上仍有良好的成效。

六、   分別對男女生四邊形概念測驗後測、延後測成績進行T考驗，男生沒有顯著差異，代表男生在診斷教學後概念的保留成效良好。而女生有達到顯著差異，代表女生在診斷教學後概念保留沒有顯著的成效。

七、   排除前測成績，對男女生四邊形概念測驗的後測成績進行共變數分析，結果沒有達到顯著差異，代表診斷教學實驗的立即效果不會因為性別不同而有差異。

八、   排除前測、後測成績，對男女生四邊形概念測驗的延後測進行共變數分析，結果有達到顯著差異。代表診斷教學實驗的保留成效會因為性別的不同而有所差異，由四邊形概念測驗後測、延後測成績T考驗可知，男生的保留成效優於女生。

九、   分別對高、中、低分組學童四邊形概念測驗的前測、後測成績進行單因子變異數分析，結果都達到顯著差異，代表診斷教學實驗對於不同能力的學童在澄清四邊形迷思概念的效果上都有立即的成效。

十、   分別對高、中、低分組學童的四邊形概念測驗的前測、延後測進行單因子變異數分析，結果都達到統計上的顯著差異，代表診斷教學實驗實施一個月後對於不同能力的學童在澄清四邊形迷思概念的效果上仍有良好的成效。

十一、   分別對高、中、低分組學童四邊形概念測驗的後測、延後測成績進行單因子變異數分析，結果沒有達到統計上的顯著差異，代表不同能力的學童在診斷教學後概念保留的成效都良好。

十二、   排除前測成績，對高、中、低分組學童四邊形概念測驗的後測成績進行共變數分析，結果沒有達到顯著差異，代表診斷教學實驗的立即效果不會因為學童能力不同而有差異。

十三、   排除前測、後測成績，對高、中、低分組學童四邊形概念測驗的延後測成績進行共變數分析，結果沒有達到顯著差異，代表診斷教學實驗的保留效果不會因為學童能力不同而有差異。

十四、   學童在前測出現有關圖形辨識上的迷思概念，在診斷教學後所進行的後測與延後測，通過率都比前測進步。但有20﹪的學童在診斷教學後，產生『認為菱形是正方形』新的迷思想法。

十五、   學童在前測出現有關基本性質上的迷思概念，在診斷教學後所進行的後測與延後測，通過率都比前測進步。只有菱形在『四個角都是直角』後測通過率76.7﹪以及梯形在『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』後測通過率70﹪比較偏低。

十六、   學童在前測出現有關包含關係上的迷思概念，在診斷教學後所進行的後測與延後測，通過率都比前測進步。但只有將近七成學童能寫出圖形間包含關係的正確理由。

 

 

 

貳、四邊形診斷教學之設計模式與實施歷程

 

研究者四邊形診斷教學設計的模式，首先先診斷出學生的迷思概念，接著與學生舊有的學習經驗相連結，最後製造認知衝突來澄清學童的迷思概念。四邊形診斷教學主要教學活動有下列三項：【活動一】四邊形分類活動、【活動二】四邊形造圖活動、【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形特例。以下是研究者從三項教學活動中，整理出在教學活動中診斷出的迷思概念以及製造認知衝突的方式，並以學童在後測、延後測的表現來說明學生在診斷教學後認知調整的情形。

 

一、【活動一】四邊形分類活動

（一）1.診斷出迷思概念：認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：讓學生以直尺實際測量菱形的四個邊來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為90﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為96.7﹪，延後測為93.3﹪。

 

 

（二）1.診斷出迷思概念：認為四個邊都一樣長是平行四邊形的基本性質。

2.製造認知衝突的方式：讓學生以直尺實際測量平行四邊形的四個邊來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為73.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為96.7﹪。

 

（三）1.診斷出迷思概念：認為四個角都是直角是菱形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：讓學生透過量角器實際去測量菱形的四個角來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為73.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為76.7﹪，延後測為90﹪。

 

（四）1.診斷出迷思概念：認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：讓學生實際將菱形的兩雙對邊往兩側延長，看是否會相交於一點來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為66.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為96.7﹪。

 

（五）1.診斷出迷思概念：認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：讓學生透過將平行四邊形兩雙相對的邊往兩邊延長，看是否只有一雙對邊會相交於一點來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為76.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為86.7﹪。

 

（六）1.診斷出迷思概念：只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：運用摺紙的方式讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為76.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為86.7﹪，延後測為90﹪。

 

（七）1.診斷出迷思概念：只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：運用摺紙的方式讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為46.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為70﹪，延後測為73.3﹪。

 

（八）1.診斷出迷思概念：只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質。

2.製造認知衝突的方式：運用摺紙的方式讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為73.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為80﹪，延後測為76.7﹪。

 

 

二、【活動二】四邊形造圖活動

 

（一）1.診斷出迷思概念：認為沒有成水平擺設的的正方形不是正方形。

2.製造認知衝突的方式：將倒轉過來的正方形旋轉成為水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為80﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為100﹪，延後測為100﹪。

 

（二）1.診斷出迷思概念：認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形。

2.製造認知衝突的方式：將倒轉過來的平行四邊形轉成水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為80﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為96.7﹪，延後測為96.7﹪。

 

（三）1.診斷出迷思概念：認為有直角的梯形就不是梯形。

2.製造認知衝突的方式：將有直角的梯形的兩雙對邊往兩側延長看是否只有一雙會相交於一點的方式，來讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為56.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為90﹪，延後測為86.7﹪。

 

（四）1.診斷出迷思概念：認為箏形不是四邊形。

2.製造認知衝突的方式：讓學童尋找箏形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來讓學生產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為70﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為86.7﹪，延後測為96.7﹪。

 

 

三、【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形特例

 

（一）1.診斷出迷思概念：認為正方形不是長方形一種特例。

2.製造認知衝突的方式：運用GSP進行電腦動態模擬，讓學童在長方形的動態模擬能夠模擬出正方形，來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為26.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為86.7﹪，延後測為76.7﹪。

 

（二）1.診斷出迷思概念：認為正方形不是菱形的一種特例。

2.製造認知衝突的方式：運用GSP進行電腦動態模擬，讓學童在菱形的動態模擬能夠模擬出正方形，來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為63.3﹪，診斷教學後進行的後測通過率提升為96.7﹪，延後測為93.3﹪。

 

（三）1.診斷出迷思概念：認為長方形不是平行四邊形的一種特例。

2.製造認知衝突的方式：運用GSP進行電腦動態模擬，讓學童在平行四邊形的動態模擬能夠模擬出長方形，來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為36.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為83.3﹪，延後測為76.7﹪。

 

 

 

（四）1.診斷出迷思概念：認為菱形不是平行四邊形的一種特例。

2.製造認知衝突的方式：運用GSP進行電腦動態模擬，讓學童在平行四邊形的動態模擬能夠模擬出菱形，來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為46.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為76.7﹪，延後測為80﹪。

 

（五）1.診斷出迷思概念：認為正方形不是平行四邊形的一種特例。

2.製造認知衝突的方式：運用GSP進行電腦動態模擬，讓學童在平行四邊形的動態模擬能夠模擬出正方形，來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為36.7﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為93.3﹪，延後測為83.3﹪。

 

（六）1.診斷出迷思概念：認為水平擺設的正方形不是菱形。

2.製造認知衝突的方式：運用GSP進行電腦動態模擬，讓學童在菱形的動態模擬中能夠模擬出水平擺設正方形，來產生認知衝突。

3.認知調整的情形：四邊形概念測驗前測通過率為33.3﹪，診斷教學後所進行的後測通過率提升為83.3﹪，延後測為76.7﹪。

 

 

 

第二節建議

 

根據本研究的結論，以下將針對四邊形教學、診斷教學及未來研究三方面提出建議。

 

一、對四邊形教學的建議

 

依據van Hiele夫婦所提的幾何思考層次，層次0是視覺期( Visuality)，這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認圖形，層次１是分析期（Analysis），這個層次的兒童能分析圖形的基本性質。層次２是非形式演繹期，這個層次的兒童能掌握圖形間的包含關係。依據九年一貫能力指標國小六年級學童應能達到層次2的階段，然而在進行四邊形診斷教學的歷程中，研究者發現許多學生在層次0的圖形辨識、層次1的基本性質都還是有許多迷思概念。

研究者從診斷教學實驗的歷程中發現，六年級學童在之前一到五年級已經學習過四邊形，但在層次0、層次1還是有許多迷思概念與老師的教學有關。舉例而言：學童認為沒有水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形，就是因為以往老師在教學時所呈現的平行四邊形都是水平擺設的，學童在學習的過程中就將水平擺設的平行四邊形當成是『原型』，所以沒有水平擺設的平行四邊形學童就不認為是平行四邊形。因此研究者認為老師在四邊形教學時應該呈現多元的圖例，除了典範例之外，其他如特例、非例，都應該在教學中呈現，如此學生才不會受直觀的影響，對圖形有固定的『原型』。

而從訪談學生的過程中，學生提到四邊形診斷教學與以往的四邊形教學最大不同就是能夠具體操作，學童認為具體操作對於他們瞭解四邊形的基本性質很有幫助，因為這樣比較有感覺也比較記得牢。所以研究者建議老師在四邊形教學時，應多讓學童透過具體的操作活動去學習，如：摺紙，在釘狀方格紙造圖…等，去驗證各種圖形基本性質。

研究者依據沈佩芳（民 91）論文的建議，運用GSP來進行四邊形包含關係的診斷教學，結果除了能澄清包含關係的迷思概念外，對於圖形辨識與基本性質上的迷思概念也都有澄清的效果。研究者認為GSP非常適合在四邊形教學或其他幾何教學上使用，除了學童認為GSP的動態模擬很新奇、很有興趣學習外，學童在操作過程中會發現一種圖形會有大小、方位不同等多元的方式出現，如此自然能減少學童『原型』概念的產生。不過目前GSP的教學尚未普及，所以研究者認為可透過教育單位來推廣，讓更多教師能將GSP教學運用在幾何教育中。

現今四邊形的課程設計，在一年級是先學習辨識長方形、正方形，到三年級才給予一般四邊形的概念，而四年級再學習許多特殊的四邊形，這樣先辨認正方形、長方形，再學習一般圖形，之後又再學習特殊圖形的課程設計，有可能會造成學生在四年級學習特殊的四邊形後，對一般的四邊形有迷思概念，而認為一些特殊圖形不是四邊形。並且在進行特殊四邊形教學之前，對於什麼是『相對的邊』、『相對的角』、『相鄰的邊』、『對角線』等圖形基本性質的用語也都沒有說明，因此研究者認為四邊形的課程設計，低年級可先學習一般的四邊形，到了中年級再學習特殊四邊形，而在特殊四邊形的教學前，應讓學童先了解圖形基本性質的用語。

 

 

二、  診斷教學的建議

 

    運用問答的方式來診斷學生的迷思概念，通常只能診斷出一、二位學童的迷思概念，較難掌握全班同學中到底哪些學童是有迷思概念，因為只要學生不發表，老師也就無法診斷出這位學童到底有沒有迷思概念。所以研究者認為好的診斷方式，應該像分類活動一樣，讓每位同學都實際操作，老師只要從學生圖形的分類結果就可以診斷出學生的迷思概念。

教師在教學時，要注意有時過份強調某一迷思概念的澄清與轉變，反而會使學生在學習過程中產生另一種迷思概念。因此，教學的活動除了加強討論外，還要注意多方面的探討。在學生出現迷思概念時，除利用兒童數學知識，製造學生的認知衝突外，也可透過小組討論的方式，來協助學生察覺自己的錯誤。概念的學習是複雜的，同一種教學方法可能對某些學童的概念學生產生良好的概念轉變效果，但也可能使某些學童產生另一種迷思概念。因此教師在教學時宜多方面思索來設計出完善的診斷教學活動。

 

三、  未來研究的建議

 

本研究因受於時間及人力的限制，只針對國小六年級學童四邊形迷思概念進行診斷教學，其實在國小幾何教學的內容中，除了平面圖形外還包括線對稱與空間幾何，這是未來在幾何方面可繼續進行診斷教學的部分。而本研究是學童已經學習完國小所有四邊形課程後來進行，補救的意味濃厚。建議未來研究者，可由四邊形或平面幾何的啟蒙教材，便開始進行診斷教學，以期更能防範迷思概念於未然。

本研究由於是自編教材運用彈性課程的時間來上課，沒有相同的課程可進行對照，因此沒有運用一般教學實驗所使用實驗組、對照組的方式來進行研究，未來的研究者可配合學生所進行的的課程來進行有實驗組、對照組的診斷教學研究。研究者進行的診斷教學實驗是針對一個班級來進行教學，很難將每位學童的迷思概念都診斷出來並進一步澄清。因此建議未來研究者可考慮進行個案的診斷教學研究，更深入去診斷每位學童的迷思概念，並能依據學童的個別差異設計不同的診斷教學活動，讓澄清學童迷思概念的效果更顯著。

由於本研究的對象僅限於台北市六年級的學童，因此研究結果之推論受到限制，未來研究可擴大研究範圍到不同的區域甚至全國地區，以比較診斷教學在不同地區的效果。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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四邊形概念測驗試卷

各位小朋友好：

    這不是一項考試，只是老師想知道你對這些題目的看法，作為教學上的參考，所以請你放心作答。本試卷共有18題，希望你能看清楚題目後，針對題目認真作答，作答時間為40分鐘。謝謝你的配合！

祝：

學習順心！

謝金助  老師敬上

2003年1月

 

【個人基本資料】

學校：                      國小  

 

      班級：六年        班        號  

 

姓名：                             

 

性別： □男   □女

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第一大題（1∼6題）：請先回答問題，再根據你的回答選出圖形。

 

（1）   請以文字敘述什麼是正方形。

                                                                     

                                                                     

                                                                     

                                                                     

     根據你的敘述，下面圖形哪些是正方形？                          

 

 

  

  

 

文字方塊:

 ㄅ          ㄆ           ㄇ         ㄈ

 

 

 

 

（2）   請以文字敘述什麼是長方形。

                                                                     

                                                                     

                                                                     

                                                                     

     根據你的敘述，下面圖形哪些是長方形？                           

 

平行四邊形:

            ㄅ         ㄆ            ㄇ          ㄈ

                                                                                            

 

 

 

 

（3）   請以文字敘述什麼是平行四邊形。

                                                                     

                                                                     

                                                                     

                                                                     

     根據你的敘述，下面圖形哪些是平行四邊形？                       

        

 ㄅ           ㄆ            ㄇ            ㄈ      

                      

ㄉ              ㄊ   

 

 

 

 

 

（4）   請以文字敘述什麼是菱形。

                                                                     

                                                                     

                                                                     

                                                                     

     根據你的敘述，下面圖形哪些是菱形？                               

 

  

  

 
文字方塊:

 


ㄅ          ㄆ            ㄇ           ㄈ

 

 

 

 

（5）   請以文字敘述什麼是梯形。

                                                                     

                                                                     

                                                                     

                                                                     

     根據你的敘述，下面圖形哪些是梯形？                              

 

 

        ㄅ           ㄆ          ㄇ           ㄈ

 

 

 

 

 

 

（6）   請以文字敘述什麼是四邊形。

                                                                     

                                                                     

                                                                     

                                                                     

     根據你的敘述，下面圖形哪些是四邊形？                           

 

 

          ㄅ          ㄆ           ㄇ             ㄈ        

     

                  ㄉ        ㄊ       ㄋ

 

 

 

第二大題（7∼11題）：將你認為正確的答案在（   ）內打ˇ

 【有些題目不只一個答案】

 

 

（7）在下面圖形中，哪些圖形『四個邊都一樣長』？

   （   ）正方形     （   ）長方形      （   ）平行四邊形

   （   ）菱形       （   ）箏形        （   ）梯形

 

 

（8）在下面圖形中，哪些圖形『四個角都是直角』？

   （   ）正方形     （   ）長方形      （   ）平行四邊形

   （   ）菱形        （   ）箏形        （   ）梯形

 

 

（9）在下面圖形中，哪些圖形『兩雙相對的邊互相平行』？

   （   ）正方形     （   ）長方形      （   ）平行四邊形

   （   ）菱形       （   ）箏形         （   ）梯形

 

 

（10）在下面圖形中，哪些圖形『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』？

   （   ）正方形     （   ）長方形      （   ）平行四邊形

   （   ）菱形       （   ）箏形         （   ）梯形

 

 

（11）在下面圖形中，哪些圖形『有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，而另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』？

   （   ）正方形     （   ）長方形      （   ）平行四邊形

   （   ）菱形       （   ）箏形         （   ）梯形

 

 

 

第三大題（12∼18題）：將你認為正確的答案在（   ）內打ˇ，並寫出理由。

 

（12）正方形是長方形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

     你的理由是：                                                    

                                                                     

                                                                     

                                                                     

 

（13）正方形是菱形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

      你的理由是：                                                   

                                                                     

                                                                     

                                                                     

 

（14）箏形是菱形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

     你的理由是：                                                   

                                                                     

                                                                     

                                                                     

 

（15）菱形是平行四邊形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

     你的理由是：                                                   

                                                                     

                                                                     

                                                                     

 

 

（16）正方形是平行四邊形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

      你的理由是：                                                    

                                                                     

                                                                     

                                                                    

 

（17）長方形是平行四邊形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

     你的理由是：                                                   

                                                                     

                                                                     

                                                                     

 

（18）梯形是平行四邊形的一種嗎？

        （   ）是      （   ）不是

      你的理由是：                                                   

                                                                     

                                                                     

                                                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附錄二： 四邊形概念測驗專家效度檢核之數學專家教師名單

 

 

專家教師

服務學校

林業泰

桃園縣自立國小主任、桃縣數學輔導團教師

王建興

桃園縣果林國小主任

施惠珍

台北縣碧華國小主任

林香

台北縣秀山國小教師

朱中梧

台北縣秀朗國小教師

蔡玉宜

桃園縣華勛國小教師

姜方元

台北縣蘆洲國小教師

張樂明

桃園縣華勛國小教師

蔡怡智

桃園縣楓樹國小教師

蕭志芳

台北市新和國小教師

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附錄三：數學專家教師檢核四邊形概念測驗試卷結果統計表

幾何

層次

四邊形迷思概念

題

次

專家勾選人數

 

視

覺

辨

識

認為倒轉過來的正方形是菱形不是正方形

1

10

認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形

3

9

認為水平擺設的正方形不是菱形

4

9

認為箏形就是菱形

4

8

認為有直角的梯形就不是梯形

5

9

認為梯形、菱形、箏形與不規則的四邊形不是四邊形。

6

9

 

基

本

性

質

認為『四個邊都一樣長』不是菱形的基本性質

7

10

認為『四個角都是直角』是菱形的基本性質

8

9

認為『兩雙相對的邊互相平行』不是菱形的基本性質

9

8

認為『只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』是平行四邊形的基本性質

10

8

認為『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合』不是箏形的基本性質

11

10

 

 

 

 

 

包

含

關

係

 

認為正方形不是長方形的一種特例

12

10

2

7

認為正方形不是菱形的一種特例

13

10

4

7

認為箏形是菱形的一種特例

14

9

4

9

認為菱形不是平行四邊形的一種特例

15

10

3

7

認為正方形不是平行四邊形的一種特例

16

10

3

7

認為長方形不是平行四邊形的一種特例

17

10

3

7

認為梯形是平行四邊形的一種特例

18

8

3

8

 

附錄四：四邊形概念測驗試題修正表

 

題目

專家檢試結果與意見

修正後結果

2

只有7位（七成）專家同意此題能檢測出學生在包含關係『認為正方形不是長方形的一種特例』

研究者認為學生若有『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思概念，在選擇哪些是長方形時，學生不會將正方形選入。事後追蹤專家的意見，專家也同意研究者的想法，所以此題仍予以保留。

3

只有7位（七成）專家同意此題能檢測出學生在包含關係上『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』

研究者認為學生若有『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』、『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』、『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念，學生選擇平行四邊形時不會將菱形、正方形、長方形選入。事後追蹤專家的意見，專家也同意研究者的想法。加上有9位（九成）專家同意此題能檢測出學生『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念，達到八成的效度水準，所以此題仍予以保留。

4

只有7位（七成）專家同意此題能檢測出學生在包含關係上『認為正方形不是菱形的一種特例』『認為箏形是菱形的一種特例』的迷思概念，未達到八成的效度水準。

研究者認為學生若有『認為正方形不是菱形的一種特例』的迷思概念，選擇圖形時會表現出來，學生不會將正方形選入。若有迷思概念『認為箏形是菱形的一種特例』學生會將箏形選入。事後追蹤專家的意見，專家也同意研究者的想法，加上有8位（八成）專家同意此題能檢測出學生『認為水平擺設的正方形不是菱形』的迷思概念，達到八成的效度水準，所以此題仍予以保留。

5

專家意見：圖    ㄇ    若是學生選取，就能夠表示學生有將不規則四邊形認為是梯形的迷思概念嗎？這樣的圖形也有誤導學生的可能，建議可改變梯形的方向來測驗學生在辨識梯形是否會受到方位的影響。

                       

將圖   ㄇ    改為 ㄇ ，將梯形旋轉不成水平擺設，看學童是否有『認為沒有成水平擺設的梯形不是梯形』的迷思概念。

10

專家意見：學生對『兩組對邊互相平行』的意思可能不太清楚，若能修改更清楚一些更好。

採用張英傑（民91）所進行國小學童幾何形體概念調查的全國抽測B卷中所使用『兩雙相對的邊互相平行』來取代『兩組對邊互相平行』。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附錄五：四邊形診斷教學活動的實施計畫

 

【活動一】四邊形分類活動

 

（一）教學時間：80分鐘（兩節課）

（二）上課地點：一般教室

（三）教學前的準備：

1.   四邊形基本性質學習單一張。

2.   正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、箏形的圖名卡每人各一張。

3.   四邊形圖形單一張。

4.   單槍投影機一台。

5.   學生需準備直尺、量角器、剪刀。

教學內容及佈題

診斷教學過程

1.   請每位同學花3分鐘的時間想一想，將基本性質學習單填寫好。

 

2.   請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將四個邊一樣長的圖形放在白板左邊，四個邊沒有一樣長的圖形放白板右邊。

※診斷出迷思概念

1.   出現『認為四個邊都一樣長不是菱形基本性質』的迷思概念。

2.   出現『認為四個邊都一樣長是平行四邊形基本性質』的迷思概念。

※連結學生舊經驗

透過梯形、正方形引導出可以運用直尺測量的方式來看圖形的四個邊是否一樣長。

※以認知衝突來澄清迷思概念

透過以直尺實際測量菱形、平行四邊形四個邊長讓學生產生認知衝突，由測量結果來澄清迷思概念。

 

3.   請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將四個角都是直角的圖形放白板左邊，四個角不全都是直角的圖形放白板右邊。

※診斷出迷思概念

出現『認為四個角都是直角是菱形基本性質』的迷思概念。

※連結學生舊經驗

運用正方形引導可運用量角器來測量圖形的四個角是否為直角

※以認知衝突來澄清迷思概念

運用量角器測量菱形的四個角讓學生產生認知衝突，並以測量的結果來澄清迷思概念。

4.   請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將兩雙相對的邊互相平行的圖形放白板左邊，兩雙相對的邊沒有互相平行的圖形放白板右邊。

※診斷出迷思概念

出現『認為兩雙相對的邊互相平行不是菱形基本性質』的迷思想法。

※  連結學生舊經驗

透過箏形引導出可將相對的邊往兩側延長，看是否會相交於一點的方式，來判斷圖形相對的邊是否互相平行。

※以認知衝突來澄清迷思概念

學生透過實際將菱形兩雙對邊往兩側延長，看是否會相交於一點的方式來製造認知衝突澄清迷思概念。

5.   請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將「只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行」的圖形放白板左邊，「不是只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行」的圖形放白板右邊。

※診斷出迷思概念

出現『認為只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行是平行四邊形基本性質』的迷思概念。

※連結學生舊經驗

透過梯形讓學生知道『有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行』的圖形將對邊往兩側延長後會有一組會相交於一點。

※以認知衝突來澄清迷思概念

讓學生透過將平行四邊形兩雙相對的邊往兩邊延長，來產生認知衝突，澄清迷思概念。

6.   請依照剛剛填寫學習單的結果來進行分類，將只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形放白板左邊，不是只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合的圖形放白板右邊。

※診斷出迷思概念

出現『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合不是箏形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是梯形基本性質』、『只有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合是平行四邊形基本性質』的迷思概念。

※以認知衝突來澄清迷思概念

透過摺紙的方式讓學生產生認知衝突，由摺紙結果來澄清迷思概念。

7.   再一次讓學生填寫基本性質學習單。

※  學生認知調整的情況

比較前後填寫基本性質學習單的結果，來分析學童認知調整的情況。

 

【活動二】四邊形造圖活動

 

（一）教學時間：80分鐘（兩節課）

（二）上課地點：教室

（三）教學前的準備：

1.   學生每人需準備直尺、三角板、量角器。

2.   準備實物投影機一台、點狀方格紙。

教學內容及佈題

診斷教學過程

1.   請學童在點狀方格紙上盡量畫出不同的四邊形、正方形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形。

 

 

2.   拿出學童的造圖結果     ，詢問學生這個圖形是不是正方形？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為沒有成水平擺設的正方形不是正方形』的迷思概念。

※連結學生舊經驗

運用長方形               ，使學生了解圖形的名稱不會隨方位的不同而改變。

※以認知衝突來澄清迷思概念

將倒轉過來的正方形轉成水平擺設的方式來讓學生產生認知衝突來澄清迷思概念。

3.   拿出學童的造圖結果      ，詢問

 

 

學生這個圖形是不是平行四邊形。

 

※診斷出迷思概念

出現『認為沒有成水平擺設的平行四邊形不是平行四邊形』的迷思概念。

※連結學生舊經驗

學生在之前長方形             的教學後知道圖形的名稱不會隨方位的不同而改變。

※以認知衝突來澄清迷思概念

透過將倒轉過來的平行四邊形轉成水平擺設的方式讓學生產生認知衝突來澄清迷思概念。

4.   拿出學童的造圖結果         ，詢問學生這圖形是不是梯形？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為有直角的梯形不是梯形』的迷思概念。

※連結學生舊經驗

學生在【活動一】四邊形分類活動時，曾透過將兩條邊往兩側延長是否會相交於一點的方式，驗證梯形是只有一雙相對的邊互相平行，另一雙相對的邊不平行的圖形。

※以認知衝突來澄清迷思概念

透過將           兩雙對邊往兩側延長的方式，讓學生產生認知衝突來澄清迷思概念。

5.   拿出正方形、長方形詢問學生這是四邊形嗎？

 

※連結學生舊經驗

以正方形及長方形與學生的舊經驗相連結，讓學生知道有四個邊、四個頂點、四個角的圖形就是四邊形。

6.   拿出箏形，詢問學生這圖形是不是四邊形？

※診斷出迷思概念

出現『箏形不是四邊形』的迷思概念。

※以認知衝突來澄清迷思概念

讓學童尋找箏形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來產生認知衝突及澄清迷思概念。

7.   拿出平行四邊形，詢問學生這圖形是不是四邊形？

※診斷出迷思概念

出現『平行四邊形、不是四邊形』的迷思概念。

※以認知衝突來澄清迷思概念

讓學童尋找平行四邊形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來產生認知衝突及澄清迷思概念。

8.   拿出梯形，詢問學生這圖形是不是四邊形？

※診斷出迷思概念

出現『梯形不是四邊形』的迷思概念。

※以認知衝突來澄清迷思概念

讓學童尋找梯形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來產生認知衝突及澄清迷思概念。

9.   拿出菱形，詢問學生這圖形是不是四邊形？

※診斷出迷思概念

出現『菱形不是四邊形』的迷思概念。

※以認知衝突來澄清迷思概念

讓學童尋找菱形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來產生認知衝突及澄清迷思概念。

10. 拿出不規則四邊形，詢問學生這圖形是不是四邊形？

※診斷出迷思概念

出現『不規則四邊形不是四邊形』的迷思概念。

※以認知衝突來澄清迷思概念

讓學童尋找不規則四邊形有沒有四個邊、四個頂點、四個角來產生認知衝突及澄清迷思概念。

11. 再一次讓學童在點狀方格紙上盡量畫出不同的四邊形、正方形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形。

 

※  學生認知調整的情況

比較前後學童的造圖結果，來分析學童認知調整的情況。

 

【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形的特例

 

（一） 上課時間：80分鐘（2節課）

（二） 上課地點：電腦教室

（三） 教學前的準備：

1.   運用GSP軟體製作『長方形』、『平行四邊形』、『菱形』的檔案。

2.   準備學生在【活動二】造圖結果的點狀方格紙。

教學內容及佈題

診斷教學過程

1.   讓學生練習運用GSP軟體來進行長方形的動態模擬。

※連結學生舊經驗

學童透過GSP動態模擬的操作與觀察，知道四個角都是90度的圖形就是長方形。

2.   拿出【活動二】長方形的造圖結果，發現有同學畫了正方形。詢問學生正方形是不是長方形的一種特例？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為正方形不是長方形的一種特例』的迷思概念。

3.   讓學生嘗試在長方形GSP的動態模擬中能不能模擬出正方形？

 

※以認知衝突來澄清迷思概念

學童在長方形的動態模擬中，能夠模擬出正方形來產生認知衝突。並知道正方形也有四個直角，所以也是長方形的一種。

4.   讓學生練習運用GSP軟體來進行菱形的動態模擬。

※連結學生舊經驗

學童透過GSP動態模擬的操作與觀察，知道四個邊一樣長的圖形就是菱形。

5.   拿出【活動二】菱形的造圖結果，發現有同學畫了正方形。詢問學生正方形是不是菱形的一種特例？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為正方形不是菱形的一種特例』的迷思概念。

6.   讓學生嘗試在菱形GSP的動態模擬中能不能模擬出正方形？

 

※以認知衝突來澄清迷思概念

學童在菱形的動態模擬中，能夠模擬出正方形來產生認知衝突。知道正方形也有四個邊一樣長，所以也是菱形的一種。學童模擬出的正方形若都是倒過來擺設，要更進一步讓學生操作出水平擺設的正方形，來證明水平擺設的正方形就是菱形的一種。

7.   讓學生練習運用GSP軟體來進行平行四邊形的動態模擬。

※連結學生舊經驗

讓學生知道只要角E、角L、角K、角M是90度，平行四邊形兩雙相對的邊就有互相平行。有兩雙相對的邊互相平行的圖形就是平行四邊形。

8.   拿出【活動二】平行四邊形的造圖結果，發現有同學畫了長方形。詢問學生長方形是不是平行四邊形的一種特例？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為長方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念。

9.   讓學生嘗試在平行四邊形GSP的動態模擬中能不能模擬出長方形？

 

※以認知衝突來澄清迷思概念

學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出長方形來產生認知衝突，知道長方形有兩雙相對的邊互相平行，所以也是平行四邊形的一種

10. 拿出【活動二】平行四邊形的造圖結果，發現有同學畫了菱形。詢問學生菱形是不是平行四邊形的一種特例？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為菱形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念。

11. 讓學生嘗試在平行四邊形GSP的動態模擬中能不能模擬出菱形？

 

※以認知衝突來澄清迷思概念

學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出菱形來產生認知衝突，知道菱形也有兩雙相對的邊互相平行，所以也是平行四邊形的一種

12. 拿出【活動二】平行四邊形的造圖結果，發現有同學畫了正方形。詢問學生正方形是不是平行四邊形的一種特例？

 

※診斷出迷思概念

出現『認為正方形不是平行四邊形的一種特例』的迷思概念。

13. 讓學生嘗試在平行四邊形GSP的動態模擬中能不能模擬出正方形？

 

※以認知衝突來澄清迷思概念

學童在平行四邊形的動態模擬中，能夠模擬出正方形來產生認知衝突，知道正方形也有兩雙相對的邊互相平行，所以也是平行四邊形的一種

 

14. 讓學童檢查之前【活動二】造圖活動的點狀方格紙，有沒有要增加新的圖形或有沒有劃錯的圖形。

 

※  學生認知調整的情況

比較進行【活動三】前後的造圖結果，來分析原本在長方形、菱形、平行四邊形造圖時沒畫出包含關係圖形的學童，再經過診斷教學之後，能否畫出包含關係的圖形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附錄六：基本性質學習單

四邊形基本性質學習單

     年     班  姓名：           

 

下面各種四邊形具備哪些基本性質？請在適當的方格內打ˇ

 

              圖形

基本性質

正方形

長方形

菱形

平行

四邊形

梯形

箏形

四個邊都一樣長

 

 

 

 

 

 

 

四個角都是直角

 

 

 

 

 

 

 

兩雙相對的邊互相平行

 

 

 

 

 

 

 

只有一雙相對的邊互相平行，而另一雙相對的邊不平行

 

 

 

 

 

 

有一條對角線對摺後能使兩邊疊合，而另一條對角線對摺後不能使兩邊疊合

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附錄七：四邊形圖形單（教學時放大成A3使用）

            

g
 

h
 

e
 

c
 

b
 

a
 
          1        2

d
 
                                                                               

f
 

i
 

j
 
 

 


p
 

l
 

k
 
3

t
 

q
 

o
 

m
 
                        4

                                                             

5

r
 

s
 

n
 
 


x
 

w
 

u
 
             

v
 
         6

               

附錄八 教學原案轉錄舉隅

 

【活動三】電腦動態模擬長方形、菱形、平行四邊形的特例

（教學時間2003.02.26AM9：30∼AM11：05）

註：第1碼：教學活動次序，第2-4碼：流水號，T  ：教師，SS ：學生，Sn：個別學生。

3001T  ：今天我們要透過GSP動態幾何軟體來進行四邊形的教學活動，這套軟體有很多的功能，能夠畫出圖形、算出圖形的面積…等。不過今天不是要教各位同學如何用電腦畫圖，而是要各位去感受一下長方形、平行四邊形、菱形的動態變化，大家有沒有興趣試一試啊？

3002SS ：有。

3003T  ：好，現在我們要運用GSP軟體來進行長方形的動態模擬。（老師以電腦廣播系統對所有同學說明）

3004T  ：請各位同學點選『長方形.gsp』檔案。

3005SS ：進行操作。

3006T  ：各位同學進到電腦畫面後，有沒有看到一個長方形ABCD？

3007SS ：有。

3008T  ：有沒有人知道邊AB＝9.0cm、邊BC＝1.7cm、邊CD＝9.0cm、邊DA＝1.7cm，是什麼意思？

3009SS ：老師，我知道。

3010T  ：S32，你說說看？

3011S32：AB＝9.0cm、邊BC＝1.7cm、邊CD＝9.0cm、邊DA＝1.7cm代表這個長方形ABCD四個邊長的長度。

3012T  ：沒錯，我們給他三個掌聲。這裡所顯示的就是長方形四個邊邊長的長度。

3013T  ：有沒有人知道角A＝90、角B＝90、角C＝90、角D＝90，是什麼意思？

3014SS ：老師，我知道。

3015T  ：S01，你說說看？

3016S01：這代表這個長方形四個角都是90度。

3017T  ：沒錯，我們給他三個掌聲。這裡所表示的就是長方形的角度。

3018T  ：好，現在注意，老師要示範如何操作。很簡單，用滑鼠去點選A、B、C、D四個頂點的其中任一點，點選完後按住滑鼠左鍵上下左右移動，就會出現各式各樣不同的長方形。

3019T  ：大家想不想玩玩看？

3020SS ：想。

3021T  ：好，現在每位同學都操作看看，在操作的過程中，請仔細觀察上面長方形邊長與角度的變化。

3022SS ：進行操作。

3023T  ：好，停止操作。

3024T  ：在剛剛動態模擬的過程中有沒有模擬出各式各樣不同的長方形？

3025SS ：有。（如：圖1）

圖1：動態模擬長方形

 

3026T  ：請大家看看現在電腦上的長方形是不是四個角都是90度？

3027SS ：是。

3028T  ：剛剛操作長方形的過程中，長方形的四個角的角度改變過嗎？

3029SS ：沒有。

3030T  ：都是幾度？

3031SS ：都是90度。

3032T  ：所以四個角都是90度的四邊形，我們稱為長方形，對不對？

3033SS ：對。

3034T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的長方形，有同學畫了正方形。你們覺得正方形是不是長方形的一種？

3035SS ：是。

3036SS ：不是。

3037T  ：正方形若是長方形的一種特例，在長方形的動態模擬中會不會出現正方形？

3038SS ：會。

 

3039T  ：正方形若不是長方形的一種特例，在長方形的動態模擬中會不會出現正方形？

3040SS ：不會。

3041T  ：好，能不能舉一個正方形的例子，如邊長是幾公分，角度是幾度？

3042S26：邊長都是4公分，角度都是90度。

3043T  ：好！我們大家一起來試試看，在長方形的動態模擬中會不會出現邊長都是4公分，角度都是90度的正方形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3044SS ：老師，我找到了。（如圖2）

3045SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

圖2：動態模擬長方形的特例-正方形

 

3046T  ：這樣正方形是不是長方形的一種？

3047SS ：是。

3048T  ：有沒有人能說說看，為什麼正方形是長方形的一種？

3049S02：四個角都是直角的圖形是長方形，正方形也有四個直角，所以也是長方形的一種。

3050T  ：好，現在我們要進行菱形的動態模擬，請每位同學打開『菱形.gsp』檔案。

3051SS ：進行操作。

3052T  ：各位同學有沒有看到一個菱形ABCD？

3053SS ：有。

3054T  ：操作的方式和長方形一樣，請各位仔細看看每個菱形的邊長和角度？

3055SS ：進行操作。

 

3056T  ：好，大家停止操作。

3057T  ：在剛剛動態模擬的過程中有沒有模擬出各式各樣不同的菱形？

3058SS ：有。（如：圖3）

圖3動態模擬菱形

 

3059T  ：每個菱形是不是四個邊都一樣長？

3060SS ：是。

3061T  ：所以四個邊都一樣長的四邊形，我們稱為菱形，對不對？

3062SS ：對。

3063T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的菱形，有同學畫了正方形。你們覺得正方形是不是菱形的一種？

3064SS ：是。

3065SS ：不是。

3066T  ：正方形若是菱形的一種特例，在菱形的動態模擬中會不會出現正方形？

3067SS ：會。

3068T  ：正方形若不是菱形的一種特例，在菱形的動態模擬中會不會出現正方形？

3069SS ：不會。

3070T  ：好，能不能舉一個正方形的例子，如邊長是幾公分，角度是幾度？

3071S11：邊長都是4.6公分，角度都是90度。

3072T  ：好！我們大家一起來試試看，在菱形的動態模擬中會不會出現邊長都是4.6公分，角度都是90度的正方形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3073SS ：老師，我找到了。（如圖4）

 

3074SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

    圖4：動態模擬菱形的特例-正方形

 

3075T  ：這樣正方形是不是菱形的一種？

3076SS ：是。

3077T  ：有沒有人能說說看，為什麼正方形是菱形的一種？

3078SS ：正方形四個邊也都一樣長，所以也算是菱形的一種。

 

3079T  ：在各位的電腦上，出現都是倒過來擺的正方形      ，只有倒過來擺的正方形是菱形，水平擺設的正方形    就不是菱形，對不對？

3080SS ：對。

3081SS ：不對。

3082T  ：若水平擺設的正方形是菱形，在菱形動態模擬中會不會出現水平擺設的正方形？

3083SS ：會。

3084T  ：若水平擺設的正方形不是菱形，在菱形動態模擬中會不會出現水平擺設的正方形？

3085SS ：不會。

3086T  ：好！就以剛剛的例子，大家一起來試試看，菱形的動態模擬中會不會出現邊長都是4.6公分，角度都是90度水平擺設的正方形？

3087SS ：會，老師我操作出來了。（如圖5，老師確認每位學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3088T  ：這樣水平擺設正方形是不是菱形的一種？

3089SS ：是。

3090T  ：為什麼？

3091SS ：它四個邊都一樣長，所以也算是菱形的一種。

圖5：動態模擬菱形特例-水平擺設正方形

 

3092T  ：好，現在我們要進行平行四邊形的動態模擬，請每位同學打開『平行四邊形.gsp』檔案。

3093SS ：進行操作。

3094T  ：各位同學有沒有看到一個平行四邊形ABCD？

3095SS ：有。

3096T  ：操作的方式和前面一樣，請各位仔細看看角E、角L、角K、角M的角度？

3097SS ：進行操作。

3098T  ：好，大家停止操作。

3099T  ：有沒有操作出許多不同的平行四邊形？

3100SS ：有。（如：圖6）

圖6：動態模擬平行四邊形

3101T  ：角E、角L、角K、角M是不是都是90度？

3102SS ：是。

3103T  ：有沒有人知道，老師在這邊設計角E、角L、角K、角M的用意？

3104SS ：………。

3105T  ：好，在前面分類活動時，我們說有什麼性質的圖形是平行四邊形？

3106SS ：兩雙相對的邊互相平行的四邊形。

3107T  ：如何知道兩雙相對的邊有沒有互相平行？

3108SS ：延長後不會相交一點，就互相平行。

3109T  ：很好，還有沒有其他方法？

3110SS ：我記得四年級時，老師曾教過兩條線同垂直於一條線就互相平行。

3111T  ：很好，兩條線同垂直於一條線就互相平行，同不同意？

3112SS ：同意。

3113T  ：各位看電腦，角E是不是90度？

3114SS ：是。

3115T  ：這樣邊CD和LE有沒有互相垂直？

3116SS ：有。

3117T  ：各位看角L是不是90度？

3118SS ：是。

3119T  ：這樣邊AB和LE有沒有互相垂直？

3120SS ：有。

3121T  ：邊CD、邊AB都和LE互相垂直，所以邊CD、邊AB是不是互相平行？

3122SS ：是。

3123T  ：同樣的道理，角K、角M是不是也都是90度？

3124SS ：是。

3125T  ：所以邊BC、邊DA和KM有沒有互相垂直？

3126SS ：有。

3127T  ：所以邊BC、邊DA是不是互相平行？

3128SS ：是。

3129T  ：所以老師設計角E、角L、角K、角M都是90度，主要就是證明模擬出來的圖形兩雙相對的邊都有互相平行。

3130T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的平行四邊形，有同學畫了長方形。你們覺得長方形是不是平行四邊形的一種？

3131SS ：是。

3132SS ：不是。

3133T  ：長方形若是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現長方形？

3134SS ：會。

3135T  ：長方形若不是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現長方形？

3136SS ：不會。

3137T  ：好！我們大家一起來試試看，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現長方形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3138SS ：老師，我找到了。（如圖7）

3139SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3140T  ：這樣長方形是不是平行四邊形的一種？

3141SS ：是。

3142T  ：有沒有人能說說看，為什麼長方形是平行四邊形的一種？

3143SS ：長方形兩雙相對的邊都有互相平行，所以也算是平行四邊形的一種。

3144T  ：你如何知道長方形兩雙相對的邊都有互相平行？

3145SS ：角E、角L、角K、角M都是90度，所以長方形兩雙相對的邊都有互相平行。

圖7：動態模擬平行四邊形特例-長方形

3146T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的平行四邊形，有同學畫了菱形。你們覺得菱形是不是平行四邊形的一種？

3147SS ：是。

3148SS ：不是。

3149T  ：菱形若是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現菱形？

3150SS ：會。

3151T  ：菱形若不是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現菱形？

3152SS ：不會。

3153T  ：好！我們大家一起來試試看，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現菱形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3154SS ：老師，我找到了。（如圖8）

3155SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3156T  ：這樣菱形是不是平行四邊形的一種？

3157SS ：是。

3158T  ：為什麼菱形是平行四邊形的一種？

3159SS ：菱形兩雙相對的邊都也有互相平行，所以是平行四邊形的一種。

3160T  ：你如何知道菱形兩雙相對的邊都有互相平行？

3161SS ：角E、角L、角K、角M都是90度，所以菱形兩雙相對的邊都有互相平行。

  圖8：動態模擬平行四邊形特例-菱形

3162T  ：昨天請各位同學盡量畫出不同的平行四邊形，有同學畫了正方形。你們覺得正方形是不是平行四邊形的一種？

3163SS ：是。

3164SS ：不是。

3165T  ：正方形若是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現正方形？

3166SS ：會。

3167T  ：正方形若不是平行四邊形的一種特例，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現正方形？

3168SS ：不會。

3169T  ：好！我們大家一起來試試看，在平行四邊形的動態模擬中會不會出現正方形？若是有人找到請舉手告訴老師。

3170SS ：老師，我找到了。（如圖9）

3171SS ：老師，我也找到了。

（學生陸續舉手，老師一一確認學生的操作結果，全班皆有操作出來）

3172T  ：這樣正方形是不是平行四邊形的一種？

3173SS ：是。

3174T  ：為什麼正方形是平行四邊形的一種？

3175SS ：正方形兩雙相對的邊都也有互相平行，所以是平行四邊形的一種。

 

 

3176T  ：你如何知道正方形兩雙相對的邊都有互相平行？

3177SS ：角E、角L、角K、角M都是90度，所以正方形兩雙相對的邊都有互相平行。

圖9：動態模擬平行四邊形特例-正方形